【BZOJ 3329】Xorequ

最新推荐文章于 2020-07-17 18:44:51 发布

原创最新推荐文章于 2020-07-17 18:44:51 发布 · 356 阅读

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本文探讨了位运算中异或运算的特性，通过数学推导展示了如何利用这些特性解决特定问题。文章深入分析了位运算与斐波那契数列之间的联系，提出了一种新颖的解决方案，并提供了详细的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题意】

在这里插入图片描述

【分析】

按位异或有一个性质：若 $\bigoplus b=c$ ，则 $\bigoplus c = b$ 。
所以说：
$x⨁3x=2x⟺x⨁2x=3x⟺x⨁2x=x+2xx\bigoplus 3x=2x \Longleftrightarrow x \bigoplus 2x =3x \Longleftrightarrow x \bigoplus 2x=x+2x$
又有：
$\Longleftrightarrow x<<1$
所以
$\bigoplus 2x=x+2x \Longleftrightarrow x \& (x<<1)=0$
即x的二进制不存在相邻的1。
于是，对于第一问，设 $f (i, 0 / 1)$ 为当前做到第 $i$ 位，前一位为0/1，然后按照题意转移即可。
然而，对于第二问，由于位数太长，所以不能用上面那个方法。
我们设 $g (i) = f (i, 0) + f (i, 1)$ ，然后对 $g (i)$ 变形：
$\begin{aligned} g(i)&=f(i,0)+f(i,1)\\&=f(i-1,0)+f(i-1,1)+f(i-1,0)\\&=g(i-1)+f(i-2,0)+f(i-2,1)\\&=g(i-1)+g(i-2) \end{aligned}$
其中：
$g (1) = 2, g (2) = 3$
发现这是一个斐波那契数列， $g (i)$ 为其 $i + 2$ 项，直接矩阵加速即可。

【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int mn = 100, mod = 1e9 + 7;
struct matrix{
    ll a[3][3];
    matrix operator *(const matrix b) const
    {
        matrix c;
        memset(c.a, 0, sizeof c.a);
        for(int i = 1; i <= 2; i++)
            for(int j = 1; j <= 2; j++)
                for(int k = 1; k <= 2; k++)
                    c.a[i][j] += (a[i][k] * b.a[k][j]) % mod, c.a[i][j] %= mod;
        return c;
    }
}ret, h;
int d[mn];
ll f[mn][2];
ll dp(int pos, int las, bool lim)
{
    if(!pos)
        return 1;
    if(!lim && ~f[pos][las])
        return f[pos][las];
    int m = lim ? d[pos] : 1;
    ll ans = 0;
    for(int i = 0; i <= m; i++)
        if(las == 1 && i == 1)
            continue;
        else
            ans += dp(pos - 1, i, lim && i == m);
    if(!lim)
        f[pos][las] = ans;
    return ans;
}
inline ll calc(ll n)
{
    int cnt = 0;
    while(n)
        d[++cnt] = n & 1, n >>= 1;
    return dp(cnt, -1, 1);
}
inline ll ksm(ll b)
{
    while(b)
    {
        if(b & 1)
            ret = ret * h;
        h = h * h, b >>= 1;
    }
    memset(h.a, 0, sizeof h.a);
    h.a[1][1] = 1, h = h * ret;
    return h.a[1][1];
}
inline void init()
{
    memset(ret.a, 0, sizeof ret.a), memset(h.a, 0, sizeof h.a);
    ret.a[1][1] = ret.a[2][2] = 1, h.a[1][1] = h.a[2][1] = h.a[1][2] = 1;
}
int main()
{
    int t;
    ll n;
    scanf("%d", &t), memset(f, -1, sizeof f);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld", &n), init();
        printf("%lld\n%lld\n", calc(n) - 1, ksm(n + 1));
    }
}