01分数规划

【问题引入】

给定两个正数数列 { a i } , { b i } \{a_i\}, \{b_i\} {ai​},{bi​}，求一个数列 { x i } , x i ∈ { 0 , 1 } \{x_i\},x_i∈\{0,1\} {xi​},xi​∈{0,1}，使得下列式子取到最大值：
$$\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i\ast x_i}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i\ast x_i}$$

【分析】

设：
$$an{s}^{\ast }=\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i\ast x_i}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i\ast x_i}$$
其中$ans$表示答案。对上式进行变形：
$$\sum _{i=1}^n{a}_i\ast x_i-an{s}^{\ast }\sum _{i=1}^n{b}_i\ast x_i=0$$
那么最关键的问题就是确定数列 { x i } \{x_i\} {xi​}。令：
$$f(T)=\sum _{i=1}^n{a}_i\ast x_i-T\sum _{i=1}^n{b}_i\ast x_i$$
由于$a_i>0,b_i>0$，所以$f(T)$的图像与$x$轴的交点恒在$x$轴的正半轴，与$y$轴的交点恒在$y$轴的正半轴，且函数的零点为$\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i\ast x_i}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i\ast x_i}$。
如果我们改变数列 { x i } \{x_i\} {xi​}的元素，将会得到若干这样的图象：

由加粗部分知，图中的红色点为图象（即某一个 { x i } \{x_i\} {xi​}）的对应答案。如今我们要取最大，于是可以考虑二分。
设一条二分线$x=mid$。

显然：
1、若存在一个函数$f(mid)>0$，则$mid$需向右移动；
2、若所有函数$f(mid)<0$，则$mid$需向左移动；
3、若所有函数$f(mid)$非正，且存在一个函数$f(mid)=0$，则mid为答案。
当然，在题目中，我们不可能把每一个函数的解析式求出来。
观察上列条件，我们发现：mid的移动方向只于众多函数$f(mid)$的最大值有关。所以我们只需要求出其中最大的函数值即可。
至于如何求这个最大值，就只能根据具体题目分析了。
以这道题为例。对于一个二分值$mid$，我们可以构造一个新数列$c_i=a_i-mid\ast b_i$，然后求这个数列的最大值即可（至少选择其中的一个元素）。

例题