[BZOJ4816][SDOI2017]数字表格（反演）

最新推荐文章于 2019-04-24 23:00:30 发布

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#莫比乌斯反演

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莫比乌斯反演

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本文解析了一道SDOI竞赛中的数学题目，通过巧妙地转换和简化公式，最终得到了高效的求解算法。文中详细介绍了从原始问题到求解过程中的关键步骤，并提供了完整的C++代码实现。

题目：

我是超链接

题解：

~~不愧是一去不返的SDOI，就是套路~~
我们要求的是

\prod i = 1 n \prod j = 1 m f ((i, j)) = \prod i = 1 n \prod j = 1 m \sum d = 1 n [(i, j) = d] f (d)

$\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^mf( (i,j) )=\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^m\sum_{d=1}^n[(i,j)=d]f(d)$
后面之所以是连加因为只会有一个d满足条件，要是累乘会变成0，接着画

\prod d = 1 n f (d) \sum n d i = 1 \sum n d j = 1 [(i, j) = 1]

$\prod_{d=1}^nf(d)^{\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}[(i,j)=1]}$
诶为什么是角标的累加呢？因为对于这个约数d，f(d)出现了累加次数
这样一看角标就很套路了，我们直接画到最简形式

\prod d = 1 n f (d) \sum n d t = 1 n d t m d t μ (t)

$\prod_{d=1}^nf(d)^{\sum_{t=1}^{\frac{n}{d}}\frac{n}{dt}\frac{m}{dt}μ(t)}$
我们看到了dt，这东西可不好枚举，这也是套路啊，设T=dt并且枚举T

\prod T = 1 n \prod d | T f (d) μ (T d) n T m T

$\prod_{T=1}^n\prod_{d|T}f(d)^{μ(\frac{T}{d})\frac{n}{T}\frac{m}{T}}$
这个

nTmT n T m T $\frac{n}{T}\frac{m}{T}$ 显然可以分块优化，那么我们现在就是要求

∏d|Tf(d)μ(Td) ∏ d | T f ( d ) μ ( T d ) $\prod_{d|T}f(d)^{μ(\frac{T}{d})}$ 的前缀积，然后可以把除法转化为逆元进行计算，这东西也可以在筛子里求出来

O(n−−√) O ( n ) $O(\sqrt n)$
然后就结束咯~

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=1e6;
const int N=1000005;
int mu[N],pri[N],tot;LL g[N],inv[N],f[N];bool ss[N];
LL ksm(LL a,LL k)
{
    LL ans=1;
    for (;k;k>>=1,a=a*a%mod)
      if (k&1) ans=ans*a%mod;
    return ans;
}
void init()
{
    g[0]=f[1]=g[1]=mu[1]=inv[1]=1;
    for (int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%mod;
        inv[i]=ksm(f[i],mod-2);g[i]=1;
        if (!ss[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1;j<=tot && pri[j]*i<=maxn;j++)
        {
            ss[pri[j]*i]=1;
            if (i%pri[j]==0) break;
            mu[pri[j]*i]=-mu[i];    
        }
    }
    for (int i=1;i<=maxn;i++)//d
      {
        for (int j=i;j<=maxn;j+=i)//T
          if (mu[j/i]==-1) g[j]=g[j]*inv[i]%mod;
          else if (mu[j/i]==1) g[j]=g[j]*f[i]%mod;
      }
    for (int i=2;i<=maxn;i++) g[i]=g[i-1]*g[i]%mod;
}
int main()
{
    init();int T,n,m;
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);if (n>m) swap(n,m);
        LL ans=1;
        for (int i=1,last;i<=n;i=last+1)
        {
            last=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans=ans*ksm(g[last]*ksm(g[i-1],mod-2)%mod,(LL)(n/i)*(LL)(m/i)%(mod-1))%mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}