三大变换与自控（三）从傅立叶级数推导傅立叶变换FT

在上一篇文章中我们推导了一个周期为t的函数的傅立叶级数展开的复数形式：

在这里可以看到，Cn才是决定函数形状的系数，而它本身则是一个复数。从三维的角度来看，如果以频率w为横轴，cn的实部为纵轴，虚部为纵轴，在上面绘制cn大概就长这样：

如果我们对cn进行取模，也就是把纵轴变成虚部和实部的平方和开根，那么这幅三维图就变成了一个函数在各种频率下的振幅，也就是传说中的频谱。

可以看到，傅立叶级数展开的情况下，频率横轴并不是连续的，而是0，w0，2w0，3w0……是一个差值为w0的等差数列。

而这个差值w=2pi/T，如果当周期T趋近于无穷大时，差值就会越来越小，直到趋近于0，因此，我们的频谱也就从离散变成了连续，我们的横轴就从nw0变成了w。

现在，让我们把周期趋近∞带入到傅立叶级数中，推导出无穷周期函数的展开，也就是傅立叶变换，看看是什么样子的
最终我们得到的式子长这样：

把中间这部分积分，也就是画波浪线的这部分，就是傅立叶变换FT。而外面对FT乘e^iwt再积分然后乘1/2pi这部分，就是傅立叶逆变换iFT。

至此，我们就完成了傅立叶变换的数学推导。