BZOJ 2720 浅谈期望线性性分部转移

世界真的很大
（纪念Re：CREATORS完结！！）
期望是个很神奇的东西
明确题意的期望思路之后，考虑怎么把期望的步骤分开一降低时间复杂度
写出来之后考虑每一次转移之间的关系，进一步优化代码
最后是O（n^2）的，应该是有O（n）做法的，应该改为巧妙

看题先：

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description

input

output

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首先这道题求的是距离总和的期望。
由于直接枚举排列再去暴力统计是不太可能的
期望即权值 * 概率，考虑分开来考虑，枚举每个小盆友的距离，算出当前情况下的概率，乘上累加就是答案

假设枚举到第8个小盆友，枚举其距离为6，我们要算出来的就是出现这种情况的概率
而出现这种情况，就是说，第8个小盆友的前面5个人都要比他矮，而第6个人恰恰比他高，我们要算出来的就是这个
设有tot个人的身高比第8个小盆友矮，有sum个小盆友比这个小盆友的身高高
这个小盆友的前面第一个人比他矮的概率本来是 tot/（n-1），但是由于要考虑老师的存在，假设老师无限高，那么总人数就会增加，但是tot却不会增加，所以概率是tot/n
再往前一个小盆友比他矮的概率，由于已经用掉了两个小盆友（第8个和前面的那个），其概率就是（tot-1）/（n-2+1），以此类推
一直到那一个比他高的小盆友，这时已经用掉了6个小盆友了，这个小盆友比他高的概率就是（sum+1）/（tot-6+1），sun+1是由于考虑了老师的缘故，这样就得出了一种n^3的做法

完整代码：

#include<stdio.h>

const int INF=0x3f3f3f3f;

int n,h[100010],sum[100010],tot[100010];
double ans=0;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&h[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(i!=j)
                sum[i]+=(h[j]>=h[i]),tot[i]+=(h[j]<h[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=tot[i]+1;j++)
        {
            double p=1;
            for(int k=1;k<j;k++)
                p*=(double) (tot[i]-k+1)/(n-k+1);
            if(n>j)
                p*=(double) (sum[i]+1)/(n-j+1);
            ans+=p*j;
        }
    }
    printf("%0.2lf\n",ans);
    return 0;
}
/*
EL PSY CONGROO
*/

考虑每一次枚举距离的时候，这一步的距离是比上一步+1的，只是比上一步多乘了一个东西而已
这样我们就发现，可以用递推来处理，优化到n^2

完整代码：

#include<stdio.h>

const int INF=0x3f3f3f3f;

int n,h[100010],sum[100010],tot[100010];
double ans=0;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&h[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(i!=j)
                sum[i]+=(h[j]>=h[i]),tot[i]+=(h[j]<h[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        double p=1;
        for(int j=1;j<=tot[i]+1;j++)
        {
            if(n==j) ans+=p*j;
            else ans+=p*(double) (sum[i]+1)/(n-j+1)*j;
            p*=double (tot[i]-j+1)/(n-j+1);
        }
    }
    printf("%0.2lf\n",ans);
    return 0;
}
/*
EL PSY CONGROO
*/

嗯，就是这样