BZOJ 2007 浅谈对偶图优化网络流

最新推荐文章于 2023-03-07 09:05:42 发布

BerryKanry

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分类专栏：网络流最短路

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/BerryKanry/article/details/77968809

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探讨网络流算法在特定场景下的优化方法，利用对偶图理论减少复杂度，解决城市交通问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这里写图片描述
世界真的很大
网络流的东西果然水还是很深
不光是建边非常玄学，这个优化还是有条件的
有时题目会故意坑你，不要轻易相信题面给出的提示

看题先:

description

YT市是一个规划良好的城市，城市被东西向和南北向的主干道划分为n×n个区域。简单起见，可以将YT市看作一个
正方形，每一个区域也可看作一个正方形。从而，YT城市中包括(n+1)×(n+1)个交叉路口和2n×(n+1)条双向道路
（简称道路），每条双向道路连接主干道上两个相邻的交叉路口。下图为一张YT市的地图(n = 2)，城市被划分为2
×2个区域，包括3×3个交叉路口和12条双向道路。 小Z作为该市的市长，他根据统计信息得到了每天上班高峰期
间YT市每条道路两个方向的人流量，即在高峰期间沿着该方向通过这条道路的人数。每一个交叉路口都有不同的海
拔高度值，YT市市民认为爬坡是一件非常累的事情，每向上爬h的高度，就需要消耗h的体力。如果是下坡的话，则
不需要耗费体力。因此如果一段道路的终点海拔减去起点海拔的值为h(注意h可能是负数)，那么一个人经过这段路
所消耗的体力是max{0, h}（这里max{a, b}表示取a, b两个值中的较大值）。 小Z还测量得到这个城市西北角的交
叉路口海拔为0，东南角的交叉路口海拔为1(如上图所示)，但其它交叉路口的海拔高度都无法得知。小Z想知道在
最理想的情况下（即你可以任意假设其他路口的海拔高度），每天上班高峰期间所有人爬坡所消耗的总体力和的最
小值。

input

第一行包含一个整数n，含义如上文所示。接下来4n(n + 1)行，每行包含一个非负整数分别表示每一条道路每一个
方向的人流量信息。输入顺序：n(n + 1)个数表示所有从西到东方向的人流量，然后n(n + 1)个数表示所有从北到
南方向的人流量，n(n + 1)个数表示所有从东到西方向的人流量，最后是n(n + 1)个数表示所有从南到北方向的人
流量。对于每一个方向，输入顺序按照起点由北向南，若南北方向相同时由西到东的顺序给出(参见样例输入)。

output

仅包含一个数，表示在最理想情况下每天上班高峰期间所有人爬坡所消耗的总体力和（即总体力和的最小值），结
果四舍五入到整数。

还是首先分析题意
我们大胆的猜测加上判断，每个点的高度不是0就是1
因为首先如果高度比1还高那么肯定不优对吧，而且如果比1低的话就必须要两条分界线了，感觉上也不优对吧

整张图就变成了一半是0，一半是1的情况
那么只要高度同为1或者同为0就不会有体力值产生
所以只需要使得01的分界线上的流量最小就行了
按原图直接建出来跑一遍网络流就行了
因为最大流即最小割嘛

但是数据稍大，网络流肯定会T
考虑优化这个网络流

这个只能当做一个知识来掌握
就是对偶图这么一个东西
如果一张网络流的图是一张平面图
平面图就是指点和边之间有一种连法使得边与边之间没有交点
比如这道题的图，还有下面的图：
这里写图片描述
黑色的是平面图，红色的不是
这是就可以把平面图的每一个封闭区域看成一个点，如果原图中两个封闭区域有交边就在新图中两个点之间连一条边，值得注意的是，整个平面图外面的区域也是一个“封闭区域”
这样得到一张新的图，就是我们说的对偶图。
由于原图是平面图，所以任意一条边左右都有两个封闭区域，在对偶图中一定有一条边，所以原图中的边一定在对偶图中有一条对应的边

这样的对偶图就有很多奇妙的性质了
其中一个就是，如果要在原图中跑网络流，就在原点汇点之间再连一条虚边，把整个图外面的部分分成两块，一块作为新原点，一块作为新汇点，在对偶图里面跑一遍最短路就行了，等价于原图中的最大流

考虑建边，原图中每一条边对应在对偶图里面的边的权值等于原边的流量。无向图本身没有什么关系，但考虑这道题是有向图（左右两条边的流量不同），有一点特殊的处理办法

原图的原点和汇点把图以外的区域分成了两块，我们在其中任意选一块为原点，另一块为汇点。其中对于每条原图的方向，只要是流向汇点的，在对偶图图中也流向汇点，反之亦然

SPFA加一个堆优化就可以来处理最短路了

完整代码：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;

struct edge
{
    int v,last,w;
}ed[5000010];

priority_queue < pair<int,int> , vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > > state ;

int n,S,T,num=0,tmp,head[500010],dis[500010],se[500010];

void add(int u,int v,int w)
{
    num++;
    ed[num].v=v;
    ed[num].w=w;
    ed[num].last=head[u];
    head[u]=num;
}

int pot(int x,int y)
{
    if(!y || x==n+1) return S;
    if(!x || y==n+1) return T;
    return (x-1)*n+y;
}

void SPFA()
{
    memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));
    dis[S]=0,se[S]=1;
    state.push(make_pair(dis[S],S));
    while(!state.empty())
    {
        int u=state.top().second;
        se[u]=0,state.pop();
        for(int i=head[u];i;i=ed[i].last)
        {
            int v=ed[i].v;
            if(dis[v]>dis[u]+ed[i].w)
            {
                dis[v]=dis[u]+ed[i].w;
                if(!se[v])
                {
                    state.push(make_pair(dis[v],v));
                    se[v]=1;
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    S=0,T=n*n+1;
    for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&tmp),add(pot(i+1,j),pot(i,j),tmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=n;j++)
            scanf("%d",&tmp),add(pot(i,j),pot(i,j+1),tmp);
    for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&tmp),add(pot(i,j),pot(i+1,j),tmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=n;j++)
            scanf("%d",&tmp),add(pot(i,j+1),pot(i,j),tmp);
    SPFA();
    printf("%d\n",dis[T]);
    return 0;
}
/*
EL PSY CONGROO
*/

嗯，就是这样