生成函数全家桶

有用的式子

1.（牛顿二项式定理）

我们把组合数的定义推广：
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{k}\right)=\frac{r^{\underline{k}}}{k!}(r\in \mathbf{C},k\in \mathbf{N})$$
其中 $r^{\underline{k}}$ 指下降幂，即 ${\prod }_{i=0}^{k-1}(r-i)$。（不过大多数时候我们只需要用到实数域的定义）
然后我们就可以对二项式定理进行推广：
$$(1+x{)}^r=\sum _{i\ge 0}(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{i})x^i(r\in \mathbf{C})$$

2.

对于组合数：
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{m}\right)$$
我们考虑其实际意义，枚举其与最右侧相连的极长连续段长度 $i$，那么就有：
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{m}\right)=\sum _{i=0}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m-i-1}{m-i}\right)=\sum _{i=0}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+i-1}{i}\right)$$
我们常常会用到这个式子的反演。

普通生成函数（OGF）

数列 $a$ 的普通生成函数为：
$$F(x)=\sum _{n=0}{a}_n{x}_n$$
卷积性质：
$$A(x)\ast B(x)=\sum _{n=0}{x}^n\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}$$

常见封闭形式：

1.

$$\sum _{n=0}{x}^n=\frac{1}{1-x}$$
$$\sum _{n=0}^k{x}^n=\frac{1-x^{k+1}}{1-x}$$
证明：
就是等比求和公式。

2.

$$\sum _{n=0}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k-1}\right)x^n=\frac{1}{(1-x{)}^k}$$
证明：

1. 数学归纳法：结合式子一大力揉式子。
2. 隔板法：第 $n$ 项的系数等同于从 $k$ 个 ${\sum }_{n=0}{x}^n$ 中个选出一项，次数后恰好为 $n$ 的方案数，那么就转换为 $k$ 个有序非负整数加和为 $n$ 的方案数。全加一后隔板即可。

3.

$$\sum _{n=0}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^n=\frac{x^k}{(1-x{)}^{k+1}}$$
证明：
第二个式子，为了方便稍微变下形：
$$\sum _{n=0}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k}\right)x^n=\frac{1}{(1-x{)}^{k+1}}$$
然后两边同乘 $x^k$：
$$\sum _{n=0}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k}\right)x^{n+k}=\frac{x^k}{(1-x{)}^{k+1}}$$
$$\sum _{n=k}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^n=\frac{x^k}{(1-x{)}^{k+1}}$$
由于 $n<k$ 是组合数全是0，所以求和可以伸下去，得到：
$$\sum _{n=0}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^n=\frac{x^k}{(1-x{)}^{k+1}}$$

4.

$$\sum _{n=0}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{n}\right)x^n=(1+x{)}^k$$
证明：
二项式定理即可。

指数生成函数（EGF）

数列 $a$ 的指数生成函数为：
$$\hat{F}(x)=\sum _{i=0}\frac{a_i}{n!}{x}^i$$
卷积性质：
$$\hat{A}(x)\ast \hat{B}(x)=\sum _{n=0}{x}^n\sum _{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)a_i{b}_{n-i}$$

排列与圆排列

排列的方案数为 $n!$，其 EGF 为：
$$\hat{P}(x)=\sum \frac{n!}{n!}{x}^n=\frac{1}{1-x}$$
类似于组合数的证明，每个圆排列对应 $n$ 个排列，方案数为 $(n-1)!$，其 EGF 为：
$$\hat{Q}(x)=\sum \frac{(n-1)!}{n!}{x}^n=\sum \frac{x^n}{n}=-\ln (1-x)=\ln \frac{1}{1-x}=\ln \hat{P}(x)$$
（$\sum \frac{x^n}{n}=-\ln (1-x)$ 可通过对两边求导再积分证明）
这个关系可以这么理解：每个排列可以形成若干个置换环，每个置换环都是一个圆排列问题。
所以 当一个问题 $F$ 可以转化为按照任意方法分成若干集合，每种划分的贡献是每个集合 $G$ 问题的方案累乘起来时，它们的 EGF 就有如下等量关系：
$$\hat{F}(x)=\exp (\hat{G}(x))$$