EGF中多项式exp的组合意义

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#1024程序员节 #c++ #算法 #学习 #笔记

于 2023-10-24 22:30:48 首次发布
文章探讨了在ExponentialGeneratingFunction(EGF)中多项式exp的组合意义，涉及排列、圆排列、斯特林数、贝尔数等概念，解释了如何通过EGF计算特定问题的方案数，并举例说明了在图论中的应用，如生成树和连通图的数量计算。

EGF中多项式exp的组合意义

EGF一般用来处理多重集的排列问题，在其上可以定义多项式的exp运算，在处理一类问题的时候有独特的作用

我们考虑将n个有标号的元素分为k个非空无序集合的方案数，记其EGF为 F k F_{k} Fk​,再考虑 f i f_i fi​表示在这个我们定义的集合中对集合元素的计数方式（也就是考虑元素在集合内的排列方式的个数，这是一个只跟集合大小有关的值），那么根据生成函数的定义，我们不难得到下式

F k ( n ) = n ! k ! ∑ ∑ i = 1 k a i = n ∏ j = 1 k f a j a j ! F_{k}(n)=\frac{n!}{k!}\sum_{\sum_{i=1}^{k}a_i=n}\prod_{j=1}^{k}\frac{f_{a_j}}{a_j!} Fk​(n)=k!n!​∑∑i=1k​ai​=n​∏j=1k​aj​!faj​​​，最后除以 k ! k! k!是因为这k个集合是无序的，而原本的多个多项式卷积显然是有序的

现在我们记 F ( x ) ^ = ∑ i = 0 i n f f i x i i ! \hat{F(x)}=\sum_{i=0}^{inf}f_i\frac{x^i}{i!} F(x)^​=∑i=0inf​fi​i!xi​,也就是原本的 f i f_i fi​的EGF

再记 G k ( x ) G_k(x) Gk​(x)为 F k ( n ) F_k(n) Fk​(n)的EGF，则有

G k ( x ) = ∑ n = 0 i n f F k ( n ) x n n ! G_k(x)=\sum_{n=0}^{inf}F_k(n)\frac{x^n}{n!} G

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