利用数列对应的生成函数求解数列的通项式

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#数列 #生成函数 #幂级数 #通项式

本文介绍如何通过数列的生成函数来求解数列的通项公式，这一技巧在解决复杂数列问题时非常实用。

利用数列对应的生成函数求解数列的通项式

参考资料：

《数学女孩》 ----结城浩

离散数学/组合数学：序列与其对应的生成函数；多项式函数的系数与序列的联系；重复组合数的理解方法即----全1序列对应的生成函数做n重卷积（不严谨说法）之后得到的序列的x的k次方项的系数；莫比乌斯反演。
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离散数学/组合数学：序列与其对应的生成函数；多项式函数的系数与序列的联系；重复组合数的理解方法即----全1序列对应的生成函数做n重卷积（不严谨说法）之后得到的序列的x的k次方项的系数；狄利克雷卷积与莫比乌斯反演。
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C4 递推关系与生成函数 S0 斐波那契数列 1）递推公式：fn+2=fn+1+fn,f0=0,f1=1f_{n+2} = f_{n+1}+f_n,f_0 = 0,f_1 = 1fn+2​=fn+1​+fn​,f0​=0,f1​=1 2）通项公式：fn=15[(1+52)n−(1−52)n]f_n = \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]fn​=5​1​[(21+5​​)n−(21−5​​)n] 3）与
生成函数求通项公式
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数论-生成函数
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该函数返回第 $ n $ 项广义斐波那契数 $ U_n $，其中整数参数 $ a $ 和 $ b $ 控制递推关系的形式，且满足初始条件 $ U_0 = 0 $、$ U_1 = 1 $，并遵循递推公式： $$ U_n = a \cdot U_{n-1} + b \cdot U_{n-2} $$ 此...
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04-19
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Stirling数列的生成函数
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学习笔记--生成函数
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11-10 988
生成函数 定义   一般来说，对于有限数列 a0,a1,a2,⋯an a_0, a_1, a_2, \cdots a_n a0​,a1​,a2​,⋯an​   多项式 f(x)=∑k=0nakxk=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn f(x) = \sum_{k = 0}^{n}a_kx^k = a_0 + a_1 x + a_2 x ^ 2 + \cdots + a_nx^n f(x)=k=0∑n​ak​xk=a0​+a1​x+a2​x2+⋯+an​xn   称为数列 {an}\lbrace a_n \
生成函数的简单应用
bajun4189的博客
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什么是生成函数： 对于序列$a_i$，定义它的生成函数为： $$G(x) = \sum_{i=0}^{+\infty} a_ix^i$$ 一个生成函数与一个序列是唯一对应的。 我们可以利用生成函数的性质解决一些组合问题。 一些重要的式子： 先写几个常用的生成函数（下式中$x∈(0,1)$）： $$\frac{1-x^n}{1-x} = \sum_{i=0}^{n-1...
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生成函数 生成函数（generating function），又称母函数，是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。 生成函数有许多不同的种类，但大多可以表示为单一的形式： F(x)=∑n=0∞ankn(x) F(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}k_{n}(x) F(x)=n=0∑∞​an​kn​(x) 其中ana_{n}an​是数列的第nnn项，kn(x)k_{n}(x)kn​(x)被称为核函数，不同的核函数决定了不同类型的生成函数。生成函数既可以是有限的，也可
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