生成函数【Nowcoder】

普通生成函数

应用：从数种物品中选出K个物品的方案数。

形式幂级数

• 定义

• 简单运算
  

• 形式幂级数的逆元（封闭形式）
  具体推导见:普通生成函数的封闭形式
  

• 性质:

  • 1. $\frac{1}{1-x}={\sum }_{i⩾0}{x}^i\leftarrow (1+x+x^2+x^3+...)$
  • 2. $\frac{1}{1-ax}={\sum }_{i⩾0}{a}^i{x}^i\leftarrow (1+ax+a^2{x}^2+a^3{x}^3+...)$
  • 3. $\frac{1}{(1-x{)}^k}={\sum }_{i⩾0}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+k-1}{i/(k-1)}\right)x^i$
  • 4. $\frac{1-x^{k+1}}{1-x}=1+x+x^2+...+x^k(一共是k+1项)$

  第4条参考：1-x^3

Catalan数：

• n=3时，C(3) = 5很有可能是卡特兰数！！
• 任意前缀0的个数>=1的个数–卡特兰数！！
• 通项公式：$C(n)=\frac{1}{n+1}C(2n,n)$
  

指数生成函数

• 应用：从数种物品中选出来k个物品并排序的方案数。

步骤：

1. 先列出每种物品的生成函数$f_i(x)$，并将其化简为其封闭形式
2. 求出$C(x)={\prod }_{i=1}^n{f}_i(x)$，将其化简。
3. $Ans=k!\ast [x^k]C(x)=k!\ast \frac{a_k}{k!}=a_k$

• 定义：
  
  
  
• 性质：
  • 1. $exp(x)\ast exp(-x)=1$
  • 2. $exp(x{)}^a=exp(ax)$

例题：

Sweet-普通生成函数

• 当y关于m的逆元不存在时计算$\frac{x}{y}$：

x/y = [x%(y*m)]/y
reference link: https://www.luogu.com.cn/problem/solution/P6078

Lust-指数生成函数