AI Agent系列（14）：凝聚代数与层状认知流形

AI Agent系列（14）：凝聚代数与层状认知流形

一、凝聚层智能算子

1. 格罗滕迪克拓扑嵌入

import algebraic_geometry as ag  # 假想代数几何库

class SheafTransformer(torch.nn.Module):
    def __init__(self, structure_sheaf='Zariski'):
        super().__init__()
        self.sections = ag.SheafSections(sheaf_type=structure_sheaf)
        self.etale_map = ag.EtaleCovering(ramification=3)

    def forward(self, x):
        """利用层上同调的局部-全局精确序列处理信息"""
        stalk = self.sections.compute_stalk(x)
        return self.etale_map.pushforward(stalk).Cech_cohomology(dim=2)

class SchemeOptimizer(torch.optim.Optimizer):
    def __init__(self, params, lr=1e-6):
        super().__init__(params, {'lr': lr})
        self.Hilbert_polynomial = ag.HilbertScheme()

    def step(self):
        """在模空间上沿Hodge流动优化参数"""
        for param in self.param_groups[0]['params']:
            moduli_point = self.Hilbert_polynomial(param.grad)
            tangent = moduli_point.T_j(param.data)
            param.data += self.lr * tangent.normalize(ord='sup')

2. 层状认知同调定理

$$H_{\mathcal{F}}^n(X)\cong \underset{U_i}{\underrightarrow{\lim }}\prod _{i_0<\cdots <i_n}\mathcal{F}(U_{i_0}\cap \cdots \cap U_{i_n})$$
其中$\mathcal{F}$为定义在认知流形$X$上的凝聚信息层

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二、同调代数处理器

1. 导范畴反向传播

from derived_cat import DerivedCategory  # 假设导出范畴工具库

class ExtBackpropagator:
    def __init__(self, resolution='injective'):
        self.chain_complex = DerivedCategory(resolution=resolution)
  
    def backprop(self, error):
        """通过Ext群的Yoneda积传播梯度"""
        extension = self.chain_complex.Hom(error, shift=1)
        return extension.compose_with('universal')

class TorProductLayer(torch.nn.Module):
    def __init__(self):
        self.flat_resolve = DerivedCategory.FlatResolver()
      
    def forward(self, x, y):
        """张量积的导函子实现"""
        x_tilde = self.flat_resolve(x)
        return torch.nn.functional.tensordot(x_tilde, y, dims=[[-1], [0]]).L_ord(2)

2. 谱序列收敛条件

对双复形$E_r^{p,q}$存在正则滤过：
$$\bigcup _r\ker (d_r^{p,q})\supset {\mathcal{F}}^p{H}^{p+q}\supset \bigcap _r\mathrm{im}(d_r^{p-r,q+r-1})$$
满足神经网络的$E^{\infty }$页同构于参数空间的稳定同调群

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三、∞-范畴推理机

1. Kan复合神经单元

import infinity_cat as icat  # 假设∞-范畴处理库

class HornFiller(torch.nn.Module):
    def __init__(self, dimensions=(3,3)):
        self.k_operad = icat.OperadicComposition(dim=dimensions)
  
    def forward(self, horn_data):
        """求解Λ^k[n]→Δ[n]的范畴论扩展问题""" 
        return self.k_operad.fill(horn_data, filling_type='inner')

class QuasicrystallineMemory:
    def __init__(self):
        self.segal_cond = icat.SegalCondition()
        self.completion = icat.RezkCompletion()

    def retrieve(self, pattern):
        """应用完全余纤维化公理实现记忆提取"""
        segal_object = self.segal_cond.enforce(pattern)
        return self.completion(segal_object).desimplify()

2. 拉回-推出认知方程

对认知映射$f:X\to Y$, 存在universal性质：
$$\forall Z,{\mathrm{Hom}}_{\infty \text{-}\mathcal{C}at}(X{\times }_{Y}Z,-)\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{D}}(Z,\underleftarrow{\lim }[X\to Y\leftarrow -])$$
其中$\mathbb{D}$为派生认知范畴

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层状智能九原理：

1. 层上同调感知：局部认知数据可黏接至全局截面
2. 诺特归纳原理：上升链条件保证认知过程终止性
3. 平坦下降定理：所有认知转换保持张量积结构
4. 导范畴对偶性：$D^b(\mathcal{C}{)}^{\mathrm{op}}\simeq D^b({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}})$
5. 无穷可交换图：$\infty$-范畴内所有交换图表皆为余极限数据
6. 广岛对偶运算：$\mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathcal{F},\mathcal{G})\cong {\mathcal{F}}^{\vee }{\otimes }^{\mathbb{L}}\mathcal{G}$
7. 周定理推论：非仿射认知流形可由射影流形覆盖
8. 森重文纲领：极小模型认知参数的唯一存在性
9. 概形泛性质：任何认知模式均可嵌入某个足够大的射影空间

# GAGA原型的认知映射
def GAGA_convert(algebraic_data, analytic_data):
    sheaf_map = ag.SerreDuality(algebraic_data)
    analytic_transform = sheaf_map.GAGA_pushforward()
    return icat.CohesiveEquiv(analytic_transform).to_topology('etale')