设计并应用一个IIR-ButterWorth-Filter的例子

设计一个butter-worth filter

为何是巴特沃斯滤波器

首先我们需要知道我们为什么要设计一个巴特沃斯滤波器，巴特沃斯滤波器有一个重要的特点就是最大平坦通带​​（Maximally Flat Passband）：在通带内（0 ≤ ω ≤ ωₐ）幅度响应尽可能平坦（无波纹）

如图所示

这个函数是幅度平方函数，即

考虑一阶滤波器

step 1 定义幅度平方响应

$$|H(j\omega ){|}^2=\frac{1}{1+(\frac{\omega }{{\omega }_c}{)}^{2}n}$$

其中n是滤波器阶数，$w_c$指的是截止频率

step 2 解析延拓到s域

用 $$s=j\omega$$替换，得到s域表达式:

$H(s)H(-s)=\frac{1}{(\frac{s}{j}{)}^2}=\frac{1}{1-s^2}$

step 3 获得极点

求分母的根，得到 $s=\pm 1$

我们选择左边平面极点

$p=-1$

step 4 构造传递函数

其实很容易观察得到，$H(s)=\frac{1}{s+1}$

二阶巴特沃斯滤波器推导

Step 1 定义幅度平方响应

幅度平方函数的一般形式：
$$|H(j\omega ){|}^2=\frac{1}{1+{\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}^{2n}}$$

对于二阶滤波器（n=2）：
$$|H(j\omega ){|}^2=\frac{1}{1+{\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}^4}$$

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Step 2 解析延拓到s域

用 $s=j\omega$ 替换，得到s域表达式：
$$H(s)H(-s)=\frac{1}{1+{\left(\frac{s}{j{\omega }_c}\right)}^4}$$

将 $j^4=1$ 代入：
$$H(s)H(-s)=\frac{1}{1+{\left(\frac{s}{{\omega }_c}\right)}^4}$$

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Step 3 获得极点

求分母的根（极点）：
$$1+{\left(\frac{s}{{\omega }_c}\right)}^4=0$$

解得：
$$s_k={\omega }_c\cdot e^{j\frac{\pi }{4}(2k+1)}(k=0,1,2,3)$$

具体极点位置（取 ${\omega }_c=1$ 归一化）：
$$\begin{array}{rl}{s}_0& =e^{j\frac{\pi }{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+j\\ s_1& \\ s_2& \\ s_3& \end{array}$$