SOLA同步叠加相加运算 - 计算模型

SOLA 算法数学原理

1. 基本数学模型

设两个音频段：

• 历史缓冲区：$h[n],n=0,1,...,L_h-1$
• 当前帧：$x[n],n=0,1,...,L_x-1$

其中重叠区域长度为 $L_{overlap}$。

2. 互相关函数计算

寻找最佳重叠位置的互相关函数：

$$R[k]=\sum _{n=0}^{L_{overlap}-1}h[L_h-L_{overlap}+n]\cdot x[k+n]$$

其中 $k$ 是搜索偏移量，$k=0,1,...,L_{search}-1$

3. 归一化互相关（避免幅度影响）

$$\hat{R}[k]=\frac{R[k]}{\sqrt{{\sum }_{n=0}^{L_{overlap}-1}{h}^2[L_h-L_{overlap}+n]\cdot {\sum }_{n=0}^{L_{overlap}-1}{x}^2[k+n]}}$$

4. 最佳偏移位置

$$k_{opt}=\arg \underset{k}{\max }\hat{R}[k]$$

5. 交叉淡化处理

交叉淡化窗口函数满足能量守恒：

$$w_{out}[n]+w_{in}[n]=1,n=0,1,...,L_{overlap}-1$$

常用窗口函数：

5.1 汉宁窗 (Hann)

$$w_{out}[n]=0.5\times \left(1-\cos \left(\frac{\pi n}{L_{overlap}-1}\right)\right)$$
$$w_{in}[n]=0.5\times \left(1+\cos \left(\frac{\pi n}{L_{overlap}-1}\right)\right)$$

5.2 正弦窗

$$w_{out}[n]=\sin \left(\frac{\pi }{2}\times \frac{L_{overlap}-1-n}{L_{overlap}-1}\right)$$
$$w_{in}[n]=\sin \left(\frac{\pi }{2}\times \frac{n}{L_{overlap}-1}\right)$$

6. 输出信号合成

混合后的重叠区域：
$$y[n]=h[L_h-L_{overlap}+n]\times w_{out}[n]+x[k_{opt}+n]\times w_{in}[n]$$

最终输出信号：
$$y_{total}=[h[0:L_h-L_{overlap}],y[0:L_{overlap}],x[k_{opt}+L_{overlap}:L_x]]$$

7. 快速算法（FFT加速）

使用FFT加速互相关计算：
R[k]=F−1{F{hoverlap}⋅F{xsearch}‾}R[k] = \mathcal{F}^{-1}\{\mathcal{F}\{h_{overlap}\} \cdot \overline{\mathcal{F}\{x_{search}\}}\}R[k]=F−1{F{hoverlap​}⋅F{xsearch​}​}

其中：

• $\mathcal{F}$ 表示傅里叶变换
• $\overline{\cdot }$ 表示复共轭
• $h_{overlap}$ 是历史缓冲区的重叠部分
• $x_{search}$ 是当前帧的搜索区域

8. 参数选择经验公式

重叠长度：

$$L_{overlap}=\alpha \times L_{frame},\alpha \in [0.2,0.5]$$

搜索范围：

$$L_{search}=\beta \times L_{frame},\beta \in [0.1,0.3]$$

帧长选择（根据采样率）：

$$L_{frame}=\frac{f_s\times T_{frame}}{1000},T_{frame}\in [20,60]ms$$