[信号与系统]IIR滤波器与FIR滤波器的表达、性质以及一些分析

前言

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IIR滤波器的数学表达式

IIR（Infinite Impulse Response）滤波器的输出信号 $y[n]$ 可以用输入信号 $x[n]$ 和滤波器系数表示为线性常系数差分方程：

$$y[n]=-\sum _{k=1}^N{a}_{k}y[n-k]+\sum _{k=0}^M{b}_{k}x[n-k]$$

其中：

• $y[n]$ 是滤波器的输出信号。
• $x[n]$ 是滤波器的输入信号。
• $a_k$ 和 $b_k$ 是滤波器的系数。
• $N$ 是输出信号的反馈项数。
• $M$ 是输入信号的前馈项数。

传递函数

IIR滤波器的传递函数 $H(z)$ 是输入信号的Z变换 $X(z)$ 与输出信号的Z变换 $Y(z)$ 之比：

$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{{\sum }_{k=0}^M{b}_k{z}^{-k}}{1+{\sum }_{k=1}^N{a}_k{z}^{-k}}$$

数学性质

1. 因果性 (Causality)：

   • IIR滤波器通常是因果的，即输出信号在当前时刻只依赖于当前及过去的输入和输出信号。
   • 数学上，如果系统的传递函数 $H(z)$ 在单位圆外是有界的，则该系统是因果的。

2. 稳定性 (Stability)：

   • IIR滤波器的稳定性取决于系统的极点。如果所有极点都位于单位圆内（即 $|z|<1$），则系统是稳定的。
   • 数学上，如果传递函数 $H(z)$ 在单位圆内收敛，则系统是稳定的。

3. 频率响应 (Frequency Response)：

   • IIR滤波器的频率响应 $H(e^{j\omega })$ 是通过将 $z$