复变函数（5）-孤立奇点与留数

复变函数（5）-孤立奇点与留数

 

                         阳气初惊蛰，韶光大地周
 
 
 

5.1 孤立奇点：

 设$z_0$为$f(z)$的一个奇点，如果$f(z)$在$z_0$的某一去心邻域$0<|z-z_0|<\delta$内处处解析，那么称$z_0$为$f(z)$的孤立奇点。

5.2 可去奇点：

 设$z_0$为$f(z)$的孤立奇点，如果$f(z)$在$z_0$的去心邻域内的洛朗展开式不含$(z-z_0)$的负幂项，则$z_0$称为$f(z)$的可去奇点。此时$f(z)$在$z_0$的去心邻域内可展开为
$$f(z)=c_0+c_1(z-z_0)+\cdots +c_n(z-z_0{)}^n+\cdots (0<|z-z_0|<\delta )$$ 如果令$f(z_0)=c_0$，$f(z)$在$z_0$点也成为解析的。
 孤立奇点$z_0$为函数$f(z)$的可去奇点的充要条件为$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=c_0$，其中$c_0$为$f(z)$洛朗展开式的常数项。

5.3 极点：

 设$z_0$为$f(z)$的孤立奇点，如果$f(z)$在$z_0$的去心邻域内的洛朗展开式中只有有限个$(z-z_0)$的负幂项，且负幂项的最高幂为$(z-z_0{)}^{-m}$，则$z_0$称为$f(z)$的m阶极点。此时$f(z)$在$z_0$的去心邻域内可展开为
$$f(z)=c_{-m}(z-z_0{)}^{-m}+\cdots +c_{-1}(z-z_0{)}^{-1}+c_0+c_1(z-z_0)+\cdots (0<|z-z_0|<\delta )$$ 也可以写为
$$f(z)=\frac{1}{(z-z_0{)}^m}g(z)$$ 其中$g(z)$在$z_0$点邻域内是解析的，且$g(z_0)\ne 0$，否则$z_0$应被写为$f(z)$的更高阶极点或者可去奇点。
 孤立奇点$z_0$为函数$f(z)$的极点的充要条件为$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=\infty$，为$f(z)$的$m$阶极点的充要条件为$\underset{z\to z_0}{\lim }(z-z_0{)}^{m}f(z)=c_{-m}$，其中$c_{-m}$为非零常数。

5.4 本性奇点：

 设$z_0$为$f(z)$的孤立奇点，如果$f(z)$在$z_0$的去心邻域内的洛朗展开式中有无穷多个$(z-z_0)$的负幂项，则$z_0$称为$f(z)$的本性奇点。
 孤立奇点$z_0$为函数$f(z)$的本性奇点的充要条件为$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)$不存在且不为$\infty$。

5.5 零点：

 如果不恒等于零的解析函数$f(z)$能表示为
$$f(z)=(z-z_0{)}^m\phi (z)$$ 其中$\phi (z)$在$z_0$解析并且$\phi (z_0)\ne 0$，$m$为某一正整数，那么称$z_0$为$f(z)$的$m$阶零点。一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的。
 点$z_0$为解析函数$f(z)$的$m$阶零点的充要条件为
$$f^{(n)}(z_0)=0,(n=0,1,2,\cdots ,m-1),f^{(m)}(z_0)\ne 0$$ 如果$z_0$是$f(z)$的$m$阶极点，那么$z_0$就是$\frac{1}{f(z)}$的$m$阶零点，反之亦然。

5.6 函数在无穷远点的性态：

 如果函数$f(z)$在无穷远点$z=\infty$的去心邻域$R<|z|<+\infty$内解析，那么称点$\infty$为$f(z)$的孤立奇点。
 设$\infty$为函数$f(z)$的孤立奇点，令$\phi (\zeta )=f(\frac{1}{\zeta })$。如果$\zeta =0$是$\phi (\zeta )$的可去奇点，$m$阶极点或本性奇点，那么相应地称点$\infty$为$f(z)$的可去奇点，$m$阶极点或本性奇点。
 若$\infty$为$f(z)$的可去奇点，则$f(z)$的洛朗展开式不含正幂项，且$\underset{z\to \infty }{\lim }f(z)$存在；若$\infty$为$f(z)$的$m$阶极点，则$f(z)$的洛朗展开式含有限个正幂项，且正幂项的最高幂为$z^m$，并且$\underset{z\to \infty }{\lim }f(z)=\infty$；若$\infty$为$f(z)$的本性奇点，则$f(z)$的洛朗展开式含无穷多项正幂项，且$\underset{z\to \infty }{\lim }f(z)$不存在，也不为$\infty$。

5.7 留数：

 设函数$f(z)$在$z_0$为中心的圆环域$0<|z-z_0|<R$内解析，$C$为该领域内任意一条正向简单闭曲线。积分${\oint }_{C}f(z)dz$的值除以$2\pi i$称为$f(z)$在$z_0$的留数，记作$Res[f(z),z_0]$，即
$$Res[f(z),z_0]=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{C}f(z)dz=c_{-1}$$ 将$f(z)$展开成洛朗级数可以看出$Res[f(z),z_0]$为$c_{-1}(z-z_0{)}^{-1}$项对应的系数。
 设函数$f(z)$在区域$D$内除有限个孤立奇点$z_1,z_2,\dots ,z_n$外处处解析，$C$是包围所有奇点的一条正向简单闭曲线，那么
$${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}Res[f(z),z_k]$$

5.8 极点处的留数：

 如果$z_0$为$f(z)$的一阶极点，那么
$$Res[f(z),z_0]=\underset{z\to z_0}{\lim }(z-z_0)f(z)$$ 如果$z_0$为$f(z)$的$m$阶极点，那么
R e s [ f ( z ) , z 0 ] = 1 ( m − 1 ) ! lim ⁡ z → z 0 d m − 1 d z m − 1 { ( z − z 0 ) m f ( z ) } Res[f(z),z_0]=\frac{1}{(m-1)!}\lim\limits_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\{(z-z_0)^mf(z)\} Res[f(z),z0​]=(m−1)!1​z→z0​lim​dzm−1dm−1​{(z−z0​)mf(z)} 设$f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$，其中$P(z)$及$Q(z)$在$z_0$都解析，如果$P(z_0)\ne 0,Q(z_0)=0$且$Q^{\prime }(z_0)\ne 0$，那么
$$Res[f(z),z_0]=\frac{P(z_0)}{Q^{\prime }(z_0)}$$

5.9 无穷远点处的留数：

 设无穷远点为函数$f(z)$的孤立奇点，函数$f(z)$在圆环域$R<|z|<+\infty$内解析，$C$为这圆环域内绕原点的任一条正向简单闭曲线，沿此曲线负向进行积分${\oint }_{C^{-}}f(z)dz$得到的值与$C$无关，称为$f(z)$在$\infty$点的留数，记作
$$Res[f(z,\infty )]=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{C^{-}}f(z)dz=-c_{-1}$$ 将$f(z)$
在$R<|z|<\infty$展开成洛朗级数可以看出$Res[f(z),z_0]$为$c_{-1}(z{)}^{-1}$项对应的系数的相反数。
 如果函数$f(z)$在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那么$f(z)$各奇点（包括$\infty$）的留数总和为零。
 无穷远点的留数有计算方法
$$Res[f(z),\infty ]=-Res[f(\frac{1}{z})\cdot \frac{1}{z^2},0]$$