复变函数（2）-复变函数及其解析性

复变函数（2）-复变函数及其解析性

 

                         东风夜放花千树，更吹落，星如雨
 
 
 

2.1 复变函数的定义：

 设$D$是复平面上一个非空点集。如果按照一个确定的法则$f$，对于$D$中的每一个点$z$，都有一个或多个复数$w$与之对应，则称复变数$w$是复变数$z$的函数，简称为复变函数，记为
$$w=f(z),z\in D$$ 如果$z$的一个值对应于$w$的一个值，那么称函数$f(z)$是单值的，如果$z$的一个值对应着$w$的多个值，那么称函数$f(z)$是多值的。
 复变函数也可以和两个二元实函数$u(x,y),v(x,y)$联系起来，设$w=u+vi$，$z=x+yi$，则
$$w=u+vi=f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i$$ 复变函数可以类比实函数定义其函数特征。

2.2 指数函数：

 对于复变数$z=x+yi$，称复变数$w=e^x(cosy+isiny)$为复变数$z$的指数函数，记作$w=e^z$，即
$$w=e^z=e^x(cosy+isiny)$$$$\{\begin{array}{rl}& |e^z|=e^x\\ & Arg(e^z)=y+2k\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\dots )\end{array}$$ 指数函数是单值函数，且在复平面上处处有定义。
 （注：这里单值函数是指在$z=x+yi$这样的实部虚部表示法下，函数值$w=e^z$有唯一确定的实部和虚部。对于虚数的指数表示法$Arg(e^z)=y+2k\pi$，在任何情况下根据定义辐角的取值都是无穷多的，所以不利用复变数的指数和三角表示法来判断函数的单值和多值性。）
 复指数函数具有以下性质：
$$e^0=1$$$$e^z\ne 0$$$$e^{z_1+z_2}=e_1^z{e}_2^z$$$$e^{-z}=\frac{1}{e^z}$$$$\overline{e^z}=e^{\overline{z}}$$$$e^{2k\pi i}=1$$

2.3 对数函数

 指数函数的反函数，即满足方程
$$e^w=z(z\ne 0)$$ 的复变数$w$称为复变数$z$的对数函数，记作$w=Lnz$。
 对于$w=u+vi$
$$|z|=|e^w|=e^u$$$$Argz=Arg{e}^w=v$$ 所以
$$u=ln|z|,v=Argz$$$$Lnz=ln|z|+iArgz(z\ne 0)$$$$w=Lnz=ln|z|+iargz+2k\pi i(k=0,\pm 1,\pm 2,\dots )$$ 可以看出对数函数可以得出多种实部和虚部表示，所以对数函数是多值函数。给定确定$k=k_0$时，可以得到对数函数的一个分支，对数函数的每一个分支都是单值函数。
 $k=0$时的分支称为对数函数$w=Lnz$的主分支，对应的函数值为函数主值，记为$lnz$，有
$$lnz=ln|z|+iargz(z\ne 0)$$
 对数函数有如下性质
$$Ln(z_1{z}_2)=Ln{z}_1+Ln{z}_2$$$$Ln(\frac{z_1}{z_2})=Ln{z}_1-Ln{z}_2$$ 等式两边都是多值函数，等号意味着两段可能取得的函数值全体相同。同理，下面的式子不成立
$$Ln{z}^n\ne nLnz$$$$Ln\sqrt[n]{z}\ne \frac{1}{n}Lnz$$

2.4 幂函数

 设$a$是复常数，对于复变数$z\ne 0$，称复变数$w=e^{aLnz}$为复变数$z$的幂函数，即
$$w=z^a=e^{aLnz}$$ 当$a$为正实数，且$z=0$时，规定$z^a=0$。
 指数函数的取值性需要分情况讨论。
 (1)当$a=n$为整数时
$$w=z^n=e^{nLnz}=e^{n[ln|z|+i(argz+2k\pi )]}=e^{nln|z|+(nargz)i+2nk\pi i}=e^{nln|z|+(nargz)i}(k=0,\pm 1,\pm 2,\dots )$$ 所以此时幂函数为单值函数，当$n>0$时在复平面上处处有定义。当$n<0$时，在复平面除$z=0$点外处处有定义。
 (2)当$a=\frac{p}{q}$（$p$，$q$为互质的整数，$q>0$）为有理数时
$$w=z^a=e^{\frac{p}{q}Lnz}=e^{\frac{p}{q}[ln|z|+i(argz+2k\pi )]}=e^{\frac{p}{q}ln|z|+(\frac{p}{q}argz)i+2\frac{p}{q}k\pi i}$$$$=e^{\frac{p}{q}ln|z|}[cos\frac{p}{q}(argz+2k\pi )+isin\frac{p}{q}(argz+2k\pi ))](k=0,\pm 1,\pm 2,\dots )$$
 根据三角函数的周期性，函数$w=z^{\frac{p}{q}}$具有$q$个不同的值，当$k=0,1,\dots ,q-1$时可以取得。
 (3)当$a$为无理数或虚数时，幂函数是无穷多值的，在复平面上除了$z=0$外处处有定义，每一个单值分支对应于$Lnz$的一个单值分支。

2.5 三角函数

 分别称
$$\cos (z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\sin (z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$ 为复变数的余弦函数和正弦函数。
 三角函数具有$2\pi$的周期性和奇偶性，但不再具有有界性，且
$${\cos }^{2}z+{\sin }^{2}z=1$$$$\cos (z+\frac{\pi }{2})=-\sin (z),\cos (z+\pi )=-\cos z$$$$\sin (z+\frac{\pi }{2})=\cos (z),\sin (z+\pi )=-\sin z$$$$\sin (z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2-\cos z_1\sin z_2$$$$\cos (z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2$$ 同理可以定义复变数的正切，余切，正割，余割函数。
$$\tan z=\frac{\sin z}{\cos z},\cot z=\frac{\cos z}{\sin z},\sec z=\frac{1}{\cos z},\csc z=\frac{1}{\sin z}$$

2.6 反三角函数

 余弦函数的反函数，满足$\cos w=z$的复变数$w$称为复变数$z$的反余弦函数，记作$w=Arc\cos z$
 根据$\cos w=\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}=z$可以解得
$$w=Arc\cos z=-iLn(z+\sqrt{z^2-1})$$ $\sqrt{z^2-1}$是双值函数，$Lnz$是多值函数，所以反余弦函数是多值函数。
 同理可以定义反正弦函数和反正切函数
$$w=Arc\sin z=-iLn(zi+\sqrt{1-z^2})$$$$w=Arc\tan z=-\frac{i}{2}Ln\frac{i-z}{i+z}$$
 它们都是多值函数。

2.7 复变函数的极限

 设函数$w=f(z)$在$z_0$的去心邻域$\mathring{U}(z_0,\rho )$内有定义，$A$是复常数。若对于任意给定的正实数$\epsilon$，总存在正实数$\delta <\rho$，使得当$0<|z-z_0|<\delta$时，$|f(z)-A|<\epsilon$，则称$A$是函数$f(z)$当$z$趋近于$z_0$的极限，记作$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=A$，或当$z\to z_0$时，$f(z)\to A$.
 设函数$f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$在$z_0=x_0+y_{0}i$的某一去心邻域内有定义，常数$A=u_0+v_{0}i$，则$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=A$的充要条件是
$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }u(x,y)=u_0,\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }v(x,y)=v_0$$ 如果$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=A$，$\underset{z\to z_0}{\lim }g(z)=B$，那么
$$\underset{z\to z_0}{\lim }[f(z)\pm g(z)]=\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)\pm \underset{z\to z_0}{\lim }g(z)=A\pm B$$$$\underset{z\to z_0}{\lim }[f(z)\cdot g(z)]=\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)\cdot \underset{z\to z_0}{\lim }g(z)=A\cdot B$$
$$\underset{z\to z_0}{\lim }[\frac{f(z)}{g(z)}]=\frac{\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)}{\underset{z\to z_0}{\lim }g(z)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)$$ 对于有理整函数（多项式）
$$w=P(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots +a_n{z}^n$$$$\underset{z\to z_0}{\lim }P(z)=P(z_0)$$ 对于有理分式函数
$$w=\frac{P(z)}{Q(z)}$$$$\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{P(z_0)}{Q(z_0)}(Q(z_0)\ne 0)$$

2.8 复变函数的连续性

 设函数$f(z)$在$z_0$的某邻域内有定义，若$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=f(z_0)$，则称函数$f(z)$在$z_0$点连续。若$f(z)$在区域$D$的每一点都连续，则称$f(z)$在$D$内连续。
 函数$f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$在$z_0=x_0+y_{0}i$连续的充要条件是二元实函数$u(x,y)$和$v(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处连续。
 连续的性质同实函数。

2.9 复变函数的导数

 设函数$w=f(z)$在区域$D$内有定义，$z_0$为$D$内一点。当$z$在$z_0$取得改变量$\Delta z$，且$z_0+\Delta z\in D$时，相应的函数值有改变量$\Delta w=f(z_0+\Delta z)-f(z_0)$。如果极限
$$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{\Delta w}{\Delta z}=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$$ 存在，则称函数$f(z)$在$z_0$点可导。该极限值称为$f(z)$在$z_0$点的导数，记作
$$f^{\prime }(z_0)=\frac{dw}{dz}{|}_{z=z_0}=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$$ 如果函数$f(z)$在区域D内的每个点都可导，称$f(z)$在区域$D$内可导。从而区域$D$内每个点对应着$f(z)$的一个导数值。这样构成了一个新的函数称为$f(z)$的导函数，记为$f^{\prime }(z)$或者$\frac{dw}{dz}$。
 设函数$f(z)$和$g(z)$在区域$D$内可导，有
$$[f(z)\pm g(z){]}^{\prime }=f^{\prime }(z)\pm g^{\prime }(z)$$$$[f(z)g(z){]}^{\prime }=f^{\prime }(z)g(z)+f(z)g^{\prime }(z)$$$$[\frac{f(z)}{g(z)}{]}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(z)g(z)-f(z)g^{\prime }(z)}{g^2(z)},(g(z)\ne 0)$${f[g(z)]}′=f′(w)g′(z),(w=g(z))\{f[g(z)]\}'=f'(w)g'(z),\quad(w=g(z)){f[g(z)]}′=f′(w)g′(z),(w=g(z)) 如果$f(z)$和$\phi (w)$是互为反函数的单值函数，且${\phi }^{\prime }(w)\ne 0$，则$f^{\prime }(z)=\frac{1}{{\phi }^{\prime }(w)}$
 有理整函数在复平面内处处可导
$$P(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots +a_n{z}^n$$$$P^{\prime }(z)=a_{1}z+2a_{2}z+\cdots +n{a}_n{z}^{n-1}$$ 对于有理分式函数
$$f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$$ 在$Q(z)\ne 0$的点可导
$$f(z{)}^{\prime }=\frac{P^{\prime }(z)Q(z)-P(z)Q^{\prime }(z)}{Q^2(z)},(Q(z)\ne 0)$$ 复变函数$w=f(z)$的微分定义为$dw=f^{\prime }(z)dz$

2.10 解析函数

 如果函数$w=f(z)$在点$z$的某个邻域内可导，那么称函数$f(z)$在点$z$解析。如果$f(z)$在区域$D$内每一点都解析，称函数$f(z)$在$D$内解析，或称$f(z)$是$D$内的解析函数。如果$f(z)$在点$z$不解析，那么称点$z$为函数$f(z)$的奇点。
 函数$f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$在点$z=x+yi$处可导的充要条件是二元实函数$u(x,y)$和$v(x,y)$在点$(x,y)$处可微，且满足柯西-黎曼方程
$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$ 从而有
$$f^{\prime }(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial x}i=\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial u}{\partial y}i$$ 函数$f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$在区域$D$内解析的充要条件是二元实函数$u(x,y)$和$v(x,y)$在区域$D$内可微，且满足柯西-黎曼方程。

2.11 调和函数

 如果二元实函数$\phi (x,y)$在区域$D$内具有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程
$$\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial y^2}=0$$ 那么称$\phi (x,y)$为区域$D$内的调和函数。
 任何在区域$D$内解析的函数$f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$，它的实部$u(x,y)$和和虚部$v(x,y)$都是$D$内的调和函数。且这两个函数满足柯西-黎曼条件，所以又称虚部$v(x,y)$是实部$u(x,y)$的共轭调和函数。
 即满足柯西-黎曼方程的两个调和函数可以构成共轭调和函数。在区域$D$内以该函数为实部，其共轭调和函数为虚部，所构成的复变函数在区域$D$内是解析的。
 函数$f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$在区域$D$内解析的充要条件是它的虚部$v(x,y)$是实部$u(x,y)$的共轭调和函数。