复变函数第五章-留数

最新推荐文章于 2025-02-07 15:48:54 发布

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复变函数第五章-留数

复变函数第五章-留数

1.孤立奇点

1.1孤立奇点分类：

可去奇点：无负幂项

m级极点：有限负幂项，最高负幂次为m,即 $(z-z_0)^{-m}$

本性奇点：无穷负幂项

1.2 零点

m级零点

不恒为零的解析函数的零点是孤立的

f(z)的零点也是 $\frac{1}{f(z)}$ 的零点

可直接利用洛朗级数来判断奇点类型

1.3 函数在无穷远处的性态

f(z)洛朗展开	t=0是f( $\frac{1}{t}$ )的	z= $\infty$ 是f(z)的
无正幂	可去奇点	有限正幂
有限正幂	m级极点	m级极点
无穷正幂	本性奇点	本性奇点

2.留数

2.1 基本概念

f(z)在孤立奇点 $z_0$ 展开洛朗级数，展开式中 $c_{-1}$ ，即 $\frac{1}{z-z_0}$ 的系数，就是f(z)在 $z_0$ 处的留数。

留数定理： $\oint_Cf(z)dz=2\pi i \sum\limits_{k=1}^n Res[f(z),z_k]$

2.2 留数的计算方法

R e s [f (z), z 0] = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 c - 1 z 0 是 极 点 ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ lim z \to z 0 (z - z 0) f (z) 1 ( m - 1 ) ! lim z \to z 0 [(z - z 0) m f (z)] m - 1 P ( z 0 ) Q ' ( z 0 ), 一 级 极 点, m 级 极 点, f (z) = P ( z ) Q ( z ) . . ., z 0 是 可 去 奇 点, z 0 是 本 性 奇 点

$Res[f(z),z_0]= \begin{cases}0&,z_0是可去奇点\\c_{-1}&,z_0是本性奇点\\ z_0是极点 \begin{cases} \lim\limits_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)f(z)&,一级极点\\ \frac{1}{(m-1)!}\lim\limits_{z\rightarrow z_0}[(z-z_0)^mf(z)]^{m-1}&,m级极点\\ \frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}&,f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}... \end{cases} \end{cases}$