复变函数论5-2-解析函数的孤立奇点5-Picard/皮卡定理1：魏尔斯特拉斯定理【描述出解析函数在本质奇点邻域内的特性】

魏尔斯特拉斯 1876 年给出下面的定理,描述出解析函数在本质奇点邻域内的特性.

定理 5.8

如果 $a$ 为函数 $f(z)$ 的本质奇点, 则对于任何常数 $A$,不管它是有限数还是无穷, 都有一个收敛于 $a$ 的点列{zn}\left\{z_{n}\right\}{zn​}, 使得

$$\underset{z_n\to a}{\lim }f\left(z_n\right)=A.$$

换句话说, 在本质奇点的无论怎样小的去心邻域内, 函数 $f(z)$可以取任意接近于预先给定的任何数值 (有限的或无穷的).

证
(1) 在 $A=\infty$ 的情形, 定理是正确的. 因为函数 $f(z)$ 的模在 $a$的任何去心邻域内都是无界的. 否则, $a$ 必为 $f(z)$ 的可去奇点.
(2) 现在设 $A\ne \infty$.
可能有这种情形发生, 在点 $a$ 的任意小的去心邻域内有这样一点 $z$ 存在, 使$f(z)$ $=A$. 在这种情形下, 定理已经得证.

因此, 我们可以假定, 在点 $a$ 的充分小的去心邻域 K\{a}K \backslash\{a\}K\{a} 内$f(z)\ne A$. 这样, 由定理 5.7 , 函数

$$\phi (z)=\frac{1}{f(z)-A}$$

在 K\{a}K \backslash\{a\}K\{a} 内解析, 且以 $a$ 为本质奇点 (因 $a$ 为 $f(z)$的本质奇点). 根据前面 (1) 段的结果,必定有一个趋向 $a$ 的点列
{zn}\left\{z_{n}\right\}{zn​} 存在,使得

$$\underset{z_n\to a}{\lim }\phi \left(z_n\right)=\infty \text{. }$$

由此推出

$$\underset{z_n\to a}{\lim }f\left(z_n\right)=A.$$

思考题 试描述这个魏尔斯特拉斯定理的几何意义.

我们用两个例子来说明这个定理.

例 5.11
$f(z)=\sin \frac{1}{z}$.

这里原点是 $f(z)$ 的本质奇点. 事实上, 当 $z\to 0$ 时,$\sin \frac{1}{z}$ 不趋于任何 (有限的或无穷的) 极限. 只要考察 $z$
取实数值就可以发现这一点.如果 $A=\infty$, 则可设 $z_n=\frac{\mathrm{i}}{n}$, 即$\frac{1}{z_n}=-\mathrm{i}n$, 我们得 : $n\to \infty$ 时

$$\sin \frac{1}{z_n}=-\mathrm{i}\sinh n\to \infty .$$

现在设 $A\ne \infty$. 为了得到如魏尔斯特拉斯定理中所说的点列{zn}\left\{z_{n}\right\}{zn​}, 我们解方程

$$\sin \frac{1}{z}=A,$$

得

$$\frac{1}{z}=\mathrm{Arcsin}A=\frac{1}{\mathrm{i}}\mathrm{Ln}\left(\mathrm{i}A+\sqrt{1-A^2}\right).$$

于是

$$z_k=\frac{\mathrm{i}}{\ln \left(\mathrm{i}A+\sqrt{1-A^2}\right)+2k\pi \mathrm{i}}(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )\text{. }$$

若取

$$z_n=\frac{\mathrm{i}}{\ln \left(\mathrm{i}A+\sqrt{1-A^2}\right)+2n\pi \mathrm{i}},$$

并使 $n=1,2,\cdots$, 我们得到点列 $z_n\to 0$, 并满足条件

$$f\left(z_n\right)=A(n=1,2,\cdots ).$$

因此

$$\underset{n\to \infty }{\lim }f\left(z_n\right)=A.$$

思考题 $z=0$ 是否为 $\frac{1}{\sin \frac{1}{z}}$ 的本质奇点?

例 5.12
$f(z)={\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}$.
这里, 原点是 $f(z)$ 的本质奇点 (见例 5.10).

设 $A=\infty$, 取 $z_n=\frac{1}{n}$, 我们有

$$f\left(z_n\right)={\mathrm{e}}^{n\to \infty }\text{ (当 }n\to \infty \text{ 时). }$$

就是说, 当 $A=\infty$ 时, 点列 $\left\{\frac{1}{n}\right\}$适合魏尔斯特拉斯定理中的论断.

现在设 $A=0$,若令 $z_n=-\frac{1}{n}$, 我们有

$$f\left(z_n\right)={\mathrm{e}}^{-n}\to 0\text{ (当 }n\to \infty \text{ 时). }$$

就是说,定理的论断在此情形也得到证实.

最后, 设 $A\ne 0,A\ne \infty$. 这里极易由解方程

$${\mathrm{e}}^{\frac{1}{\epsilon }}=A$$

来取相应的点 $z_n$. 我们得

$$\frac{1}{z}=\mathrm{Ln}A,$$

于是

$$z_k=\frac{1}{\ln A+2k\pi \mathrm{i}}(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots ).$$

若取

$$z_n=\frac{1}{\ln A+2n\pi \mathrm{i}}(n=1,2,\cdots ),$$

我们就有收敛于零且满足条件 $f\left(z_n\right)=A$ 的点列{zn}\left\{z_{n}\right\}{zn​}.于是

$$\underset{n\to \infty }{\lim }f\left(z_n\right)=A.$$

在例 5.11 与例 5.12 中, 我们看到, 除了个别的例外 (前例中的 $A=\infty$,后例中的 $A=\infty ,A=0)$, 不但有点列 {zn}\left\{z_{n}\right\}{zn​}
满足极限等式

$$\underset{z_n\to a}{\lim }f\left(z_n\right)=A\text{, }$$

而且还有点列 {zn}\left\{z_{n}\right\}{zn​} 满足准确等式

$$f\left(z_n\right)=A(n=1,2,\cdots ).$$