裂项相消的原理是什么

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数列问题

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裂项相消是一种数学技巧，用于将分式分解成更简单的部分进行加减运算。本文从分母互质的分数开始，解释如何通过找到因数进行裂项，然后拓展到非互质分母的情况，强调寻找公倍数而非最小公倍数。此外，还讨论了等差数列中裂项相消的应用，揭示了其在数列求和中的重要性。

我们来看这样的式子，若m-n=d，那么 $\frac{1}{m\cdot n}=\frac{1}{d}(\frac{1}{m}-\frac{1}{n})$

那么这样的式子是什么意思呢？

就是说，如果我们要把一个分式，分解成两个分式进行加减运算，那么我们可以找到原分式分母的两因数即可进一步分解。

那么这样的式子是怎么来的呢？

我们先来看，分母互质的两个分数是怎么算的呢？同学们可以先思考一下。

是不是就是先通分，然后再进行分子上的运算。而通分我们一开始学的时候是不是找最下公倍数啊，那么问题来了，对于互质的两个数，最小公倍数是怎么样的呢？

比如 $\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4-3}{12}=\frac{1}{12}$

可以看到，就是特别简单粗暴地，把两个数作乘法运算就是了。

如果我们要反过来，求这个分数是由哪两个分数运算得到的，也是一样的，先对分母进行处理，然后再对分子进行处理。

比如，现在要分解 $\frac{1}{18}$

我们可以找到互质的两个数为2,9，有 $2\times 9 =18$

那么，运算两分数得到 $\frac{1}{18}$ 的步骤中，肯定有 $\frac{1}{2}-\frac{1}{9}$

然而，我们会发现 $\frac{1}{2}-\frac{1}{9}=\frac{7}{18}$ ，分子的位置多了7，而不是1

怎么换算得到1呢，引用小学数学的知识，是不是乘以7的倒数就可以得到1了，

所以 $\frac{1}{18}$ 分解的最终结果为 $\frac{1}{18}=\frac{1}{9-2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{9})=\frac{1}{7}\times (\frac{1}{2}-\frac{1}{9})$

重点来咯，有同学会反驳说，老师，我遇见的是 $\frac{1}{18}=\frac{1}{3}\times(\frac{1}{3}-\frac{1}{6})$ ，3和6可不是互质的两个数哦。

这位同学说得很对，我们前面给大家展示的是，我们小学学习分数运算的时候，一开始老师要求我们找最小公倍数，所以呢，老师前面给大家展示了裂项相消一开始的想法。

但是，后来，我们发现，实际上，在通分的过程中，只要找到分母的两个数的公倍数是不是就可以了，并不一定需要最小公倍数，而两个数的乘积是不是就一定是两个数的公倍数啊。

所以，我们通分最简单粗暴的方式，不管两个数是不是互质的，找公倍数直接把两个数作乘法运算就可以了。

那么，以后遇见任意的一个数，找到它的因数就可以了，至于过程和上面讲解质数是一样的。

比如 $\frac{1}{18}$ ，我们能够找到的因数就是1,18和2,9和3,6（当然，我们的分数一般来说分子分母都得是整数，或者无理数如\sqrt 2之类的，所以找的时候呢，一般找整数，当然找小数的话注意化简就是了。）

那么 $\frac{1}{18}=\frac{1}{18-1}\times(\frac{1}{1}-\frac{1}{18})=\frac{1}{6-3}\times(\frac{1}{3}-\frac{1}{6})=\frac{1}{9-2}\times (\frac{1}{2}-\frac{1}{9})$

问题来了，有同学可能会问，老师，为什么一定要 $\frac{1}{2}-\frac{1}{9}$ 呢，不可以 $\frac{1}{9}-\frac{1}{2}$ 吗？

可以，很好，不过呢，我们再验算一下 $\frac{1}{9}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{18}$ ，怎么样？和实际的结果 $\frac{1}{18}$ 相比，是不是多了个负号，怎么办？乘以-1就可以了。但是，可能会有很多同学忘记了要添加负号哈，所以，以后我们统一这么干，把分母小的数统统放到前面就是了。这样的话可能有同学就又会问，老师，那么这样的情况呢 $-\frac{1}{18}$ ，这种情况实际上，我们可以相当于把负号先提取出来，然后只对 $\frac{1}{18}$ 处理，即 $-\frac{1}{18}=-(\frac{1}{18})=-(\frac{1}{2}-\frac{1}{9})$

进一步的推广

如果我们现在遇见的是 $\frac{2}{18}$ 呢？前面相当于把-1拿出来，那这里呢？我们相当于把2拿出来，即 $\frac{2}{18}=2\times \frac{1}{18}=2\times (\frac{1}{2}-\frac{1}{9})$

黑板敲起来咯，对于等差数列 $\{a_n \}$ ，公差为d，那么 $\frac{1}{a_{n-1}a_{n}}=\frac{1}{a_{n}-a_{n-1}}(\frac{1}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_n})=\frac{1}{d}(\frac{1}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_n})$

以后呢，列项相消的步骤，就是先判断分母上的两个数列是否同属于一个等差数列，如果是，那么求等差数列的公差，然后套用公式就是了.

问题又来了，老师，为什么一定要等差数列呢？

在前面，我们已经认识到，如果是对于任意的一个分数，那么我们可随便找到它的两个因数就可以进行裂项了，对吧，但是现在呢，我们是对一个数列，也就是多个数，用同一个表达式来表达呀。

在上面的公式当中， $a_{n-1},a_{n}$ 是数列的两个项，一旦数列知道了，这两个项肯定可以知道，但对于d呢？如果不是等差数列的话，那就不是一个常数，我们需要进一步地确定它的规律。

所以说，不是等差数列可不可以，可以，但是呢，你可能需要进一步的确定d这个位置的数的规律了。

再次敲黑板了，体现了上面公式需是等差数列的特别之处。

上面的裂项，我们是对某个数列的每个项，进行裂项，也就是说，我们换了一种方式来作为这个数列的通项公式。

然后，后面，我们用它来求数列的和，也就是把数列某些项加起来。则有

$S_n=\frac{1}{d}(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2})+\frac{1}{d}(\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3})+\cdots +\frac{1}{d}(\frac{1}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_n})=\frac{1}{d}(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}+\cdots +\frac{1}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_n})$