Fibonacci数列与二叉平衡搜索树

前言

在学习二叉平衡检索树的时候，有一个题，求5层AVL树至少拥有多少个结点？
然后去百度，找到了答案。于是我来记录一下

一 背景

1.1 AVL树

AVL树是一种平衡树，即二叉树的右、左子树的高度差不超过1。

前苏联学者Adelson-Velskii和Landis的名字命名。

1.2 为什么要二叉平衡检索树

二叉平衡检索树 = 检索树 + 平衡树

检索树的时间复杂度为：$O(logn)<T(n)<O(n)$，最坏的情况就是n的时间复杂度了，但是在实际应用中，由于插入、删除等操作，树很容易就变成了单枝树的情况，然后，搜索复杂度直接变成$O(n)$。

平衡树的作用就是保持树的平衡结构结构，使时间复杂度维持在$O(logn)$.

1.3 Fibonacci数列

$$\begin{gathered} F(n)=F(n-1)+F(N-2) \\ F(1)=F(2)=1 \end{gathered}$$
F(n) = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …}

二 正文

问题：

具有5层结点的AVL树至少有多少个结点

因为根结点层次为1，则高度为h的平衡二叉树最少有结点：
$$F(h+2)-1$$

其中F 为Fibonacci序列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…；

Fibonacci数列种，1是根节点，F(n-1)是左子树的节点数量，F(n-2)是右子数的节点数量；

易知F(1)=1，F(2)=2，F(3)=4 ；

F(5)=F(4)+F(3)+1=2*F(3)+F(2)+2；

因为F(2)=2，F(3)=4；

故F(5)=2*F(3)+F(2)+2=2*4+2+2=12；

即具有5层结点的平衡二叉树至少有12个结点。

参考资料

[1] zengyan809. 具有5层结点的平衡二叉树至少有多少个结点. 百度知道. 2019. https://zhidao.baidu.com/question/136334175435557525.html