练习题-3-优快云博客

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文章探讨了给定的整系数三次多项式f(x)=ax^3+bx+1的一个根α，并利用三角函数α=cos(72°)和β=sin(72°)的关系，推导出α的极小多项式以及相关系数。关键步骤包括证明α不是有理数以确定多项式形式。

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设 $α=sin⁡(18∘)\alpha=\sin(18^\circ)$ 是整系数三次多项式 $f(x)=ax^3+bx+1$ 的一个根，其中 $a > 0$ . 求 $a, b$ .

解：因为 $α=cos⁡(72∘)\alpha=\cos(72^\circ)$ ，如果知道 $2α=e2π−1/5+e−2π−1/52\alpha=e^{2\pi \sqrt{-1}/5} + e^{-2\pi \sqrt{-1}/5}$ 在 $Q\mathbb{Q}$ 上的极小多项式是 $x^2+x-1$ , 那么 $α\alpha$ 在 $Q\mathbb{Q}$ 上的极小多项式就是 $4x^2+2x-1$ . 又设 $f(x)=(mx+n)(4x^2+2x-1)=ax^3+bx+1$ , 就能求出 $m = 2, n = - 1, a = 8, b = - 4$ .

如果用三角函数，那么考虑 $β=sin⁡(72∘)=cos⁡(18∘)\beta = \sin(72^\circ)=\cos(18^\circ)$ , 则
$β=2sin⁡(36∘)cos⁡(36∘)=4sin⁡(18∘)cos⁡(18∘)(1−2sin⁡2(18∘))\beta=2\sin(36^\circ) \cos(36^\circ) = 4\sin(18^\circ) \cos(18^\circ) \big(1-2\sin^2(18^\circ) \big)$ , 即 $1=4α(1−2α2)1=4\alpha (1-2\alpha^2)$ , 即 $8α3−4α+1=08\alpha^3 - 4\alpha + 1=0$ . 由于多项式 $8x^3-4x+1=(2x-1)(4x^2+2x-1)$ , 只要能证明 $2α≠12\alpha \neq 1$ ，就知道 $f(x)=8x^3-4x+1$ , 为此只需证明 $α\alpha$ 不是有理数. 此处省略.

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