练习题-2

已知 $F(x)={\int }_0^x(1+(x-t)+\frac{(x-t{)}^2}{2!}+\dots +\frac{(x-t{)}^{n-1}}{(n-1)!})e^{nt}dt$.
求$F^{(n)}(0)=\frac{d^{n}F(x)}{d{x}^n}{|}_{x=0}$.

解：作代换$x-t=s$, 那么$F(x)=e^{nx}{\int }_0^x(1+s+\frac{s^2}{2}+\dots +\frac{s^{n-1}}{(n-1)!})e^{-ns}ds$.

记$E_{n-1}(s)=1+s+\frac{s^2}{2}+\dots +\frac{s^{n-1}}{(n-1)!}$，则$E_{n-1}^{\prime }(x)=E_{n-2}(x)$ (对$x$求导数）。

计算可知
$F^{\prime }(x)=n{e}^{nx}{\int }_0^x{E}_{n-1}(s)e^{-ns}ds+E_{n-1}(x)=nF(x)+E_{n-1}(x)$,

$F^{\prime \prime }(x)=n^2{e}^{nx}({\int }_0^x\cdots )+n{E}_{n-1}(x)+E_{n-2}(x)=n(nF(x)+E_{n-1}(x))+E_{n-2}(x)$,

…

$F^{(n)}(x)=n^{n}F(x)+n^{n-1}+n^{n-2}{E}_2(x)+\dots +n^1(1+x)+n^0$, 于是有

$F^{(n)}(0)=n^{n-1}+n^{n-2}+\dots +n+1$.

例子：

取$n=2$, $F^{\prime }(x)=2e^{2x}({\int }_0^x\cdots ）+（1+x)$,

$F^{\prime \prime }(x)=2^2{e}^{2x}({\int }_0^x\cdots )+2(1+x)+1$, 故$F^{\prime \prime }(0)=2+1=3$.