Cyclotomic field 分圆域

下面是关于分圆(cyclotomic)域，分圆多项式的习题

(9). 回忆${\mu }_n(\mathbb{C}),{\mu }_n^{\times }(\mathbb{C})$的定义. 求证：${\mu }_n(\mathbb{C})$ 同构于 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, 也同构于$\frac{1}{n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$.

(10). 显然对每个正整数$n$, ${\mu }_n(\mathbb{C})$都是U(1)={ z∈C:∣z∣=1}U(1)=\{z \in \mathbb{C}: |z|=1\}U(1)={ z∈C:∣z∣=1}的子群. 求证：它们的并集${\bigcup }_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 1}}{\mu }_n(\mathbb{C})$ 也是$U(1)$的子群. 这个群通常也记作$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. 请用上题给出明显的同构${\bigcup }_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 1}}{\mu }_n(\mathbb{C})\leftrightarrow \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$.

注：$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$是无限群，但它每个元素都是扭元（有限阶元）.

回忆分圆多项式${\Phi }_n(x)={\prod }_{{\zeta }_n\in {\mu }_n(\mathbb{C}}$