Cyclotomic field 分圆域

最新推荐文章于 2025-12-21 00:03:36 发布

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#学习

本文探讨了分圆域中的μ_n(C)群与Z/nZ和U(1)的关系，以及分圆多项式的性质，包括它们与素数因子的关联和Galois群的应用，特别是以ζ_5为例的Kronecker-Weber定理的示例和黄金分割在因式分解中的角色。

下面是关于分圆(cyclotomic)域，分圆多项式的习题

(9). 回忆 $μn(C),μn×(C)\mu_n(\mathbb{C}), \mu_n^\times (\mathbb{C})$ 的定义. 求证： $μn(C)\mu_n(\mathbb{C})$ 同构于 $Z/nZ\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ , 也同构于 $1nZ/Z\frac{1}{n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ .

(10). 显然对每个正整数 $n$ , $μn(C)\mu_n(\mathbb{C})$ 都是 $z∈C:∣z∣=1}U(1)=\{z \in \mathbb{C}: |z|=1\}$ 的子群. 求证：它们的并集 $⋃n∈Z≥1μn(C)\bigcup_{n \in \mathbb{Z}_{\geq 1} } \mu_n(\mathbb{C})$ 也是 $U (1)$ 的子群. 这个群通常也记作 $Q/Z\mathbb{Q/Z}$ . 请用上题给出明显的同构 $⋃n∈Z≥1μn(C)↔Q/Z\bigcup_{n \in \mathbb{Z}_{\geq 1} } \mu_n(\mathbb{C}) \leftrightarrow \mathbb{Q/Z}$ .