HDU - 3507 Print Article

题目:要输出序列a[n],每连续输出一段连续子序列的费用是连续输出的数字和的平方加上常数M,让我们求总 费用的最小值。

思路:

参考:http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/08/26/2657650.html

设dp[i]表示输出前i个的最小费用,那么有如下的DP方程:
dp[i]= min{ dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2 +M } 0<j<i
其中sum[i]表示数字的前i项和。

计算dp[i]时,k<j ,j点比k点优。
也就是dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2+M <= dp[k]+(sum[i]-sum[k])^2+M;
整理得:
[(dp[j]+sum[j]*sum[j])-(dp[k]+sum[k]*sum[k])] / 2(sum[j]-sum[k]) <=sum[i].
如果令:yj=dp[j]+sum[j]*sum[j]   xj=2*sum[j]
那么就变成了斜率表达式:(yj-yk)/(xj-xk) <= sum[i];
而且不等式右边是递增的。
我们令g[k,j]=(yj-yk)/(xj-xk)
第一:如果上面的不等式成立,那就说j比k优,而且随着i的增大上述不等式一定是成立的,也就是对i以后算DP值时,j都比k优。那么k就是可以淘汰的。
第二:如果 k<j<i   而且 g[k,j]>g[j,i] 那么 j 是可以淘汰的。

所以这样相当于在维护一个下凸的图形,斜率在逐渐增大。

代码:

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
#include<numeric>
using namespace std;
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mm(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define PP puts("*********************");
template<class T> T f_abs(T a){ return a > 0 ? a : -a; }
template<class T> T gcd(T a, T b){ return b ? gcd(b, a%b) : a; }
template<class T> T lcm(T a,T b){return a/gcd(a,b)*b;}
// 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
//0x3f3f3f3f

const int maxn=5e5+50;
int dp[maxn];
int q[maxn];
int sum[maxn];
int head,tail,n,M;
int getdp(int i,int j){
    return dp[j]+M+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j]);
}
int gety(int k,int j){//yj-yk
    return dp[j]+sum[j]*sum[j]-(dp[k]+sum[k]*sum[k]);
}
int getx(int k,int j){//xj-xk
    return 2*(sum[j]-sum[k]);
}
int main(){

//    freopen("D:\\input.txt","r",stdin);
//    freopen("D:\\output.txt","w",stdout);
    while(~scanf("%d%d",&n,&M)){
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&sum[i]);
        sum[0]=dp[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            sum[i]+=sum[i-1];
        head=0;
        tail=-1;
        q[++tail]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            while(head<tail&&gety(q[head],q[head+1])<=sum[i]*getx(q[head],q[head+1]))
                head++;
            dp[i]=getdp(i,q[head]);
            while(head<tail&&gety(q[tail-1],q[tail])*getx(q[tail],i)>=gety(q[tail],i)*getx(q[tail-1],q[tail]))
                tail--;
            q[++tail]=i;
        }
        printf("%d\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}


### 关于HDU - 6609 的题目解析 由于当前未提供具体关于 HDU - 6609 题目的详细描述,以下是基于一般算法竞赛题型可能涉及的内容进行推测和解答。 #### 可能的题目背景 假设该题目属于动态规划类问题(类似于多重背包问题),其核心在于优化资源分配或路径选择。此类问题通常会给出一组物品及其属性(如重量、价值等)以及约束条件(如容量限制)。目标是最优地选取某些物品使得满足特定的目标函数[^2]。 #### 动态转移方程设计 如果此题确实是一个变种的背包问题,则可以采用如下状态定义方法: 设 `dp[i][j]` 表示前 i 种物品,在某种条件下达到 j 值时的最大收益或者最小代价。对于每一种新加入考虑范围内的物体 k ,更新规则可能是这样的形式: ```python for i in range(n): for s in range(V, w[k]-1, -1): dp[s] = max(dp[s], dp[s-w[k]] + v[k]) ``` 这里需要注意边界情况处理以及初始化设置合理值来保证计算准确性。 另外还有一种可能性就是它涉及到组合数学方面知识或者是图论最短路等相关知识点。如果是后者的话那么就需要构建相应的邻接表表示图形结构并通过Dijkstra/Bellman-Ford/Floyd-Warshall等经典算法求解两点间距离等问题了[^4]。 最后按照输出格式要求打印结果字符串"Case #X: Y"[^3]。 #### 示例代码片段 下面展示了一个简单的伪代码框架用于解决上述提到类型的DP问题: ```python def solve(): t=int(input()) res=[] cas=1 while(t>0): n,k=list(map(int,input().split())) # Initialize your data structures here ans=find_min_unhappiness() # Implement function find_min_unhappiness() res.append(f'Case #{cas}: {round(ans)}') cas+=1 t-=1 print("\n".join(res)) solve() ```
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