ACM湘潭市2018邀请赛 K题-2018_求2018倍数 acm-优快云博客

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本文解析了一道ACM竞赛题，通过集合论思想巧妙地解决了两个区间内任意数相乘得到2018倍数的问题，区分了2018的倍数、因子以及组合方式，提供了清晰的解题思路和代码实现。

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题目链接http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6286

题目大意是，给出两个区间，A,B。从两个区间中各自任意取出一个数 $(a_{i},b_{j})$ ，使得 $a_{i}*b_{j}$ 是2018的倍数。

既然要组合出2018的倍数，就先要知道2018有些什么因子，很容易得出，2018只有1、2、1009、2018四个因数。

那么组合2018的方式也是有一个直接思路的，若x是2018的倍数，那么x的因子里面必须有2和1009。

在组合出2018的倍数时，常常有多算少算的情况。

最为根本的原因就是，组合时可以用2*1009或者2018*任何数来组合。在计算的过程中，总是考虑不清楚，，不过从集合的方向去思考就会变的明了。

令题目给出的 a~b 间的数集合为 A ，c~d 间的数为集合B 。

另外，A的子集 $A_{2}$ 表示集合A中 2 的倍数。 $A_{8}$ 表示集合A 中2018的倍数 $A_{9}$ 代表 A 中1009的倍数。

同样，对B 也有 $B_{2}$ $B_{9}$ $B_{8}$ 。

既然2018的倍数本身很容易混淆，那么我们就分两种情况。A集合中选出 ai B 集合中选出 bj ，两种情况如下：

一、ai bj 是2018的倍数。

二、ai bj 都不是2018的倍数。

首先看ai bj 是2018倍数的情况。如果 ai 是2018的倍数，那么 bj 可以取任何数，这里就有 $\left | B \right |*\left |A_{8} \right |$ 种，这里的 $\left | B \right |$ 代表集合 B 的总数。

同样，如果 bj 是2018的倍数，ai 就可以是任何数那么这里就有 $\left | A \right |*\left |B_{8} \right |$ 中。这就是两个数 ai bj 分别为2018的倍数的种类数，结果 $Sum=\left | A \right |*\left | B_{8} \right |+\left | B \right |*\left |A_{8} \right |$ 。

这里我们已经把 ai bj 都为2018的倍数的可能性包含在了这两种情况中。而且重复算了两次，所以最终结果要减去一次。ai bj同时为2018的倍数种类数为 $\left | A_{8} \right |*\left |B_{8} \right |$ 。所以最后的结果应该为 $Sum=\left | A \right |*\left | B_{8} \right |+\left | B \right |*\left |A_{8} \right |-\left | A_{8} \right |*\left | B_{8} \right |$ 。

再来看第二种情况

ai 和 bj 都不是2018的倍数，当然我们说的是为1009或者2的倍数，但不是2018的倍数的数。

这里面又可以分为两种子情况

1、ai 为1009但不为2018的倍数，bj 为2但不为1009的倍数。

2、反过来ai 为2但不为1009的倍数，bj为1009但不为2018的倍数.

其实分别可以用两个式子来表示,

1、 $(\left | A_{9} \right |-\left | A_{8} \right |)*(\left | B2 \right |-\left | B8 \right |)$ 这个式子是很好理解的，第一项代表ai 为1009但不为2018的倍数，第二项代表bj 为2但不为1009的倍数。

2、 $(\left | B_{9} \right |-\left | B_{8} \right |)*(\left | A_{2} \right |-\left | A_{8} \right |)$ 同理。

这两种肯定是互斥独立的，同样，这里所有的情况和为 $Sum2=(\left | A_{9} \right |-\left | A_{8} \right |)*(\left | B2 \right |-\left | B8 \right |)+(\left | B_{9} \right |-\left | B_{8} \right |)*(\left | A_{2} \right |-\left | A_{8} \right |)$ 种，这里所有的情况肯定和第一种2018的情况没有任何重复。因为这里的每一项都去除了2018的倍数。

那么最后的解应该为， $SUM=\left | A \right |*\left | B_{8} \right |+\left | B \right |*\left |A_{8} \right |-\left | A_{8} \right |*\left | B_{8} \right |+(\left | A_{9} \right |-\left | A_{8} \right |)*(\left | B2 \right |-\left | B8 \right |)+(\left | B_{9} \right |-\left | B_{8} \right |)*(\left | A_{2} \right |-\left | A_{8} \right |)$

看上去这个公式又臭又长，但是其实每一项都非常好算的。

下面是代码：

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;

int main(){
	ll sum,a,b,c,d;
	
	
	
	sum=0;
	while(cin>>a>>b>>c>>d){
	
	ll a2=b/2-(a-1)/2;
	ll a8=b/2018-(a-1)/2018;
	ll a9=b/1009-(a-1)/1009;
	
	ll b2=d/2-(c-1)/2;
	ll b8=d/2018-(c-1)/2018;
	ll b9=d/1009-(c-1)/1009;
	
	ll al=b-a+1,bl=d-c+1;
	
	sum=al*b8+bl*a8-a8*b8+(a9-a8)*(b2-b8)+(b9-b8)*(a2-a8);
	
	cout<<sum<<endl;
	}
	return 0;
}