10、递归自适应滤波技术详解

递归自适应滤波技术详解

1. 自适应卡尔曼滤波

1.1 卡尔曼滤波的背景与应用场景

卫星跟踪是卡尔曼滤波的一个典型应用场景。在人造卫星出现后，卫星的轨道会受到多种因素影响，如大气变化、地球引力不均、月球和潮汐的影响等，这使得精确跟踪卫星轨迹变得十分困难。自适应跟踪系统应运而生，用于实时更新卫星和轨道碎片的轨迹。

卡尔曼滤波不仅在卫星跟踪中发挥重要作用，还广泛应用于通信、导航、工业控制、环境预测和金融市场等领域。例如，在全球定位系统（GPS）中，卡尔曼滤波可用于提高定位的精度；在工业过程控制中，可用于优化生产过程。

1.2 卡尔曼滤波的基本原理

卡尔曼滤波从一个简单的状态方程开始，将时间 $t$ 的测量向量 $z(t)$ 与状态向量 $x(t)$ 联系起来：
$z(t) = H(t) \cdot x(t) + w(t)$
其中，$H(t)$ 是测量矩阵，$w(t)$ 是测量噪声向量。

为了最小化状态到测量的误差，我们定义一个二次代价函数：
$J(N) = \sum_{t=1}^{N} [z(t) - H(t) \cdot x(t)]^T R^{-1}(t) [z(t) - H(t) \cdot x(t)]$
通过优化状态向量 $x$ 来最小化这个代价函数。

1.3 卡尔曼滤波的递归更新过程

1.3.1 状态预测

先验状态预测：$x’(N + 1|N) = F(N) x(N|N)$
先验状态误差预测：$P’(N + 1|N) = F(N) P(N|N) F^H(N) + Q(N)$
其中，$