37、无序分形上的异常输运与超统计理论

无序分形上的异常输运与超统计理论

1. 无序分形中的异常扩散与输运

在研究无序材料中的扩散和输运现象时，我们以无序分形来表示这些材料。首先从规则的谢尔宾斯基地毯（Sierpinski carpets）的扩散过程分析入手，随后将其扩展到无序分形的情况。

与均匀介质不同，在这类结构化介质中，以随机游走者来模拟的扩散粒子的均方位移 ⟨r²(t)⟩ 并不随时间 t 呈线性缩放，而是与 t^(2/dw) 成比例。这里的随机游走维度 dw 通常大于 2，因此这种扩散被称为异常扩散。

为了确定 dw，我们采用了多种方法：
- 随机游走模拟 ：通过模拟随机游走者在分形结构中的运动来研究扩散特性。
- 主方程方法 ：从理论上描述随机游走者的概率分布随时间的变化。
- 电阻标度方法 ：利用分形结构的电阻特性来推断扩散的相关参数。

在分析无序的谢尔宾斯基地毯时，我们发现 ⟨r²(t)⟩ 随时间 t 呈现幂律行为。而且，当混合不同分形模式时，平均随机游走维度 ⟨dw⟩ 取决于连接点的数量 Cp、活跃位点的数量，以及通过结构的最短路径的长度和数量。

部分方法不仅能给出均方位移的缩放行为，还能得到每个时间步的完整概率分布，这包含了比均方位移缩放行为更多的信息。在进行时间连续描述时，概率分布的时间演化可以用微分方程来描述。为了研究描述分形上随机游走扩散特性的常微分方程，我们采用了一种新的云、纤维和回声点方法。

在所有情况下，我们都将随机游走者的均方位移随时间的缩放指数作为表征扩散特性的重要参数。此外，我们还开