23、哈密顿系统中的异常输运与流体模型

哈密顿系统中的异常输运与流体模型

1. 连续时间随机游走（CTRW）与哈密顿系统的联系

CTRW描述与间歇性混沌动力学之间存在明显的类比关系。当轨迹被困在规则区域的边界时，其运动本质上遵循规则区域内轨迹的运动。在两次粘连事件之间，轨迹会在混沌海中度过一段时间，这段时间足以破坏相关性，这也证明了CTRW中连续飞行和陷阱不相关的假设是合理的。

1.1 规则区域的两种类型

• 类型（a） ：当规则区域相对于可观测变量 $r$ 固定时，粘连分布对应于陷阱的概率密度函数（PDF）。例如，在标准映射中，当在 $r = y$ 方向计算输运时，所有岛屿都属于这种情况。
• 类型（b） ：当规则区域相对于 $r$ 进行弹道（均匀）运动时，粘连分布对应于飞行的PDF。例如，在标准映射中，当在 $r = x$ 方向计算输运时，原始环面和大多数岛屿属于这种情况。

1.2 异常输运指数

对于哈密顿系统，有 $\gamma > 1$。将此约束应用于方程 $(9.5)$ 中的 $\gamma_t$ 和 $\gamma_f$，可以得到异常输运指数 $\nu$ 的表达式：
[
\nu =
\begin{cases}
3 - \gamma_f & \text{if } 1 \leq \gamma_f \leq 2 \
1 & \text{if } \gamma_f > 2
\end{cases}
]
这表明，当存在粘性弹道区域时，异常输运仅表现为超扩散（$1