6、状态反馈控制器与观测器设计详解

状态反馈控制器与观测器设计详解

1. 观测器设计

1.1 观测器方程的引入

在状态估计中，误差状态变量 $\tilde{x}(t)$ 的行为取决于系统矩阵 $A$ 的特征值。为了使误差状态向量 $\tilde{x}(t)$ 收敛到零，误差系统需要是稳定的，并且收敛速率取决于误差系统特征值的位置。然而，仅使用系统动态模型进行状态估计（如公式(1.101)）无法实现用户指定的任意期望收敛速率。

因此，控制工程师在原动态模型中添加了一个“校正”项，得到观测器方程：
$\dot{\hat{x}}(t) = A\hat{x}(t) + Bu(t) + K_{ob}(y(t) - C\hat{x}(t))$ (1.104)
其中，输出 $y(t) = Cx(t)$ 可通过测量获得，$K_{ob}$ 是设计中选择的增益矩阵，也称为观测器增益矩阵（$n \times m$，$n$ 为状态数量，$m$ 为输出数量）。当 $K_{ob}$ 为零时，观测器方程退回到原方法。而额外的项 $K_{ob}(y(t) - C\hat{x}(t))$ 通过误差信号 $y(t) - C\hat{x}(t)$ 反映了估计状态 $\hat{x}(t)$ 的准确性，这是反馈机制的一个例子。

1.2 观测器增益的作用

为了研究 $K_{ob}$ 在状态变量 $x(t)$ 估计中的作用，我们考察状态误差 $\tilde{x}(t) = x(t) - \hat{x}(t)$。用公式(1.100)减去公式(1.104)可得：
$\dot{\tilde{x}}(t) = Ax(t) + Bu(t) - A\hat{x}(t) - Bu(t) - K_{