鲁棒控制理论学习：静态状态反馈H∞控制器

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于 2024-04-26 17:32:07 首次发布

鲁棒性，即系统的健壮性，是指在异常和危险情况下系统能够维持其功能和性能的能力。在控制系统中，鲁棒性表现为系统在参数摄动下维持某些性能的特性。例如，当控制系统面临输入错误、磁盘故障、网络过载或有意攻击等挑战时，其能否保持稳定并继续有效运行，就体现了其鲁棒性。

状态反馈和前馈是提升系统鲁棒性的两种重要手段。状态反馈是将系统的状态信息作为反馈信号，通过反馈回路来调整系统的控制输入，以达到期望的控制目标。而前馈则是将干扰或预测的未来状态信息提前加入到控制输入中，以抵消或减小干扰对系统输出的影响。

全信息（或状态反馈）H∞控制问题

考虑一个动力学系统如下：

若存在状态反馈ｕ＝Ｆｘ使得系统稳定，即使得Ａ＋ＢＦ为稳定矩阵，则称动态系统或矩阵对（Ａ，Ｂ）是可镇定的

如下方程描述的ＭＩＭＯ动态系统

闭环系统的方程为

% 定义系统参数  
J = 1; % 假设的转动惯量，可以根据实际情况修改这个值  
  
% 定义状态空间模型的矩阵  
A = [0 1; 0 0];  
B = [0 0; 1/J 0];  
B_disturbance = [0 0; 0 -1/J]; % 外部干扰的输入矩阵  
C = [1 0; 0 1]; % 输出矩阵，这里假设同时观测位置和速度  
D = [0 0; 0 0]; % 直接传递矩阵，通常为零，因为没有直接传递项  
  
% 创建状态空间模型  
sys = ss(A, [B B_disturbance], C, D);  
  
% 分割B矩阵为控制输入矩阵和扰动输入矩阵  
B_u = B(:,1); % 控制输入矩阵  
B_d = B(:,2); % 扰动输入矩阵  
  
% 定义状态反馈矩阵K  
% 这通常基于某些优化准则，例如极点配置或LQR设计  
% 在这里，我们简单地选择一个反馈矩阵作为示例  
K = [k1 k2]; % k1和k2是反馈系数，需要根据设计要求来选择它们  
  
% 计算闭环系统的状态矩阵  
A_closed = A - B_u*K;  
  
% 创建闭环系统的状态空间模型（不考虑扰动）  
sys_closed = ss(A_closed, B_u, C, D);  
  
% 分析闭环系统  
% 例如，绘制极点图  
pole(sys_closed);  
grid on;  
title('Pole-Zero Map of the Closed-Loop System');  
  
% 或者绘制Bode图  
bode(sys_closed);  
grid on;  
title('Bode Plot of the Closed-Loop System');

对比下输出反馈：

系统的H∞范数对应于bode图中幅值曲线的峰值，而系统的H2范数则对应于bode图中幅值曲线下方的面积。
H∞范数不超过一个上界，H2范数尽可能小，以保证系统对于不确定性具有鲁棒稳定性，并表现出更好的性能。
在状态反馈情况下，闭环系统的H∞性能并不能通过增加控制器的阶数来加以改进，因此，系统的H∞状态反馈控制器，总是能够选择一个静态控制律。