12、能量极小值存在性与连续性的研究

能量极小值存在性与连续性的研究

在形状匹配和优化问题中，能量极小值的存在性和连续性是重要的研究课题。本文将探讨在变分数据项下，能量全局极小值的连续性问题，并通过二维和三维的反例进行详细分析。

1. 二维曲线的反例

在二维情况下，我们考虑一个生长模型，其中最终形状 $\gamma_v : [−1, 1] \to \mathbb{R}^2$ 由以下方程定义：
[
\gamma_v(r) = (r, \int_{|r|}^{1} v(s)ds)
]
该形状由一个变分 $\mu_v$ 表示。同时，我们有一个目标形状 $\gamma_{v_{tar}} : [−1, 1] \to \mathbb{R}^2$，由时变向量场 $v_{tar} \in L^2([0, 1], \mathbb{R})$ 定义。两个曲线 $\gamma_v$ 和 $\gamma_{v_{tar}}$ 之间的差异通过 $\mu_v$ 和 $\mu_{v_{tar}}$ 在 $W’$ 中的距离来估计，即 $\vert\mu_v - \mu_{v_{tar}}\vert_{W’}$。

匹配问题的目标是最小化能量函数：
[
E_{\lambda}^W(v) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} v(r)^2dr + \frac{\lambda}{2} \vert\mu_v - \mu_{v_{tar}}\vert_{W’}^2
]
我们的目标是研究 $v$ 的 $L^2$ 正则化和变分数据项是否能确保 $E_{\lambda}^W$ 的全局极小值是连续函数。

1.1 退化核的解

当 $