10、计算解剖学中生长映射演化的极小值存在性与连续性研究

计算解剖学中生长映射演化的极小值存在性与连续性研究

在计算解剖学领域，生物体生长、衰老或患病过程中形状的复杂变化，需要越来越精确的模型来进行主体比较。本文围绕生长映射演化（Growth Mapped Evolutions，GME）的相关问题展开，探讨了在不同数据项表示下，生长映射演化注册问题解的存在性和连续性。

1. 背景与基本概念

在计算解剖学里，通过微分同胚群的作用来建模和分析嵌入形状群体的变异性，即微分形态测量学。最优控制视角为微分同胚配准提供了优雅的框架。最初，两个嵌入形状（如曲线或曲面）的匹配问题可以表示为：
[
\min_{\varphi} R(\varphi) + A(\varphi)
]
其中，(R) 是对变形 (\varphi : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d) 的正则化项，(A) 衡量目标形状 (S_{tar}) 与变形后源形状 (\varphi(S)) 之间的差异。

随着医学影像分析的进展，对纵向数据集的关注显著增加，生长或衰老现象中出现的复杂变化难以用传统方法完全解释。为解决生物体不同年龄阶段之间同源性丧失的问题，引入了生长映射演化的概念。

生长映射演化是一组由时间区间 (T \subset \mathbb{R}) 索引的嵌入形状 ((S_t) {t \in T})，并配备了嵌入空间 (\mathbb{R}^d) 上的流 ((\varphi_t) {t \in T})。任意两个形状 (S_s) 和 (S_t) 之间的完全同源性约束通过包含条件放松：对于 (T) 中任意 (s \leq t)，有 (\varphi_{s,t}(S_s) \subse