13、极小值点的存在性与连续性

极小值点的存在性与连续性

在形状分析领域，对于时变形状同化优化问题中全局极小值点的研究至关重要。本文聚焦于增长动态这一特定情形，探讨了全局极小值点的存在性与连续性问题。

1. 三维示例特性

在三维情况下，存在一个反例表明，对于足够大的 (n) 和 (\lambda)，某一对象严格优于 (v_+)。与二维情况类似，可通过光滑函数 (s_n) 生成相似的曲面。该反例并非基于 (v_{tar}) 的不连续性构建。此外，此三维示例凸显了最优向量场在增长动态下的一个特性，即其范数随时间趋于增大，这在二维情况中并未出现。

2. 当前情形下连续极小值点的存在性

2.1 (L^2([0, 1], V)) 中全局极小值点的存在性

对于由控制 (v \in L^2([0, 1], V)) 生成的任何叶状形状，在坐标空间 (X = [0, 1] \times B) 的一般情况下，可进行如下扩展表示：
[
\begin{align }
\left(L^2([0, 1], V), | \cdot |_{L^2_V} \right) &\longrightarrow \left(C^0(\mathbb{R}^d, (\Lambda^k\mathbb{R}^d)^ ), | \cdot | {\infty} \right)^ \
v &\longmapsto \mu_v : \omega \longmapsto \int_0^1 \left\langle \int_{Y_t} \iota(h_t - v_t) \varphi_{t,1}^ \omega