线性递推求乘法逆元

前置知识

$x\equiv y(\mathrm{mod}p)$ 表示 $x\%p=y\%p$。
如果 $a\cdot a^{\prime }\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，那么 $a^{\prime }$ 称为 $a$ 在模 $p$ 意义下的乘法逆元。如果 $p$ 是素数，可以用费马小定理+快速幂，结论：$a^{\prime }=a^{p-2}\mathrm{mod}p$。（如果想学的话可以看其他大佬的文章）但是如果时间复杂度不允许有 $\log$ 或模数只是与 $a$ 互质，但不是质数，该怎么办？

递推式推导

令 $A=\lfloor \frac{p}{x}\rfloor$，$B=p\%x$。
$p=A\cdot x+B\to A\cdot x+B\equiv 0(\mathrm{mod}p)\to A\cdot x\equiv -B(\mathrm{mod}p)$
设 $inv[i]$ 表示 $i$ 在模 $p$ 意义下的乘法逆元。
$A\cdot x\cdot inv[x]\cdot inv[B]\equiv -B\cdot inv[x]\cdot inv[B](\mathrm{mod}p)$
由乘法逆元的定义可得：
$A\cdot inv[B]\equiv -inv[x](\mathrm{mod}p)$
把 $A$ 和 $B$ 代入：
$\lfloor \frac{p}{x}\rfloor \cdot inv[p\%x]\equiv -inv[x](\mathrm{mod}p)\to inv[x]=(-\lfloor \frac{p}{x}\rfloor \cdot inv[p\%x]\%p+p)\%p$（化为非负数）
由于 $p\%x<x$，$p>x$（如果要算一个 $\ge p$ 的 $x$ 的逆元，答案为 $x\%p$ 的逆元），所以该递推式成立。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define p 998244353
#define N 10000000 
long long inv[N];
void find_inv(){
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++)
		inv[i]=(-p/i*inv[p%i]%p+p)%p;
}
int main(){
	find_inv();
	for(int i=1;i<=N;i++) printf("%lld ",inv[i]);
	printf("\n");
	return 0;
}