求逆元的两种方法+求逆元的O(n)递推算法

本文介绍求解逆元的两种方法:拓展欧几里得算法与费马小定理,并提出一种O(n)的逆元递推算法。逆元在数学中用于求解形如ax≡1(mod p)的方程,前提是gcd(a,p)=1。拓展欧几里得算法将问题转换为ax+py≡1,适用于任意整数;费马小定理则利用快速幂求解。O(n)算法基于递推关系,可高效求解模奇素数的所有逆元。

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求逆元的两种方法+求逆元的O(n)递推算法

到国庆假期都是复习阶段。。所以把一些东西整理重温一下。

 

gcd(a,p)=1,ax≡1(%p),则x为a的逆元。注意前提:gcd(a,p)=1;

 

方法一:拓展欧几里得

gcd(a,p)=1,ax≡1(%p),转化为ax+py≡1,拓展欧几里得可解决ax+by=gcd(a,b)

 1 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
 2 {
 3     if(b==0) {
 4         x=1,y=0;
 5         return a;
 6     }
 7     int g=exgcd(b,a%b,x,y);
 8     int t=x;x=y;y=t-(a/b)*y;
 9     return g;
10 }

 

方法二:费马小定理

a^(p-1)≡1(%p),则a^(p-2)就是逆元。快速幂。

 

 

求逆元的O(n)算法

 

 inv[i]=((mod-mod/i))*inv[mod%i]%mod;

 

 

转自https://blog.youkuaiyun.com/acdreamers/article/details/8220787,侵删

 

它的推导过程如下,设,那么

 

       

 

对上式两边同时除,进一步得到

 

       

 

再把替换掉,最终得到

 

       

 

初始化,这样就可以通过递推法求出模奇素数的所有逆元了。

posted @ 2018-09-21 20:20 拦路雨偏似雪花 阅读( ...) 评论( ...) 编辑 收藏
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