动态规划LeetCode-322.零钱兑换

欧了111

已于 2025-02-12 22:20:40 修改

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分类专栏：动态规划文章标签：动态规划 leetcode 算法 c语言完全背包

于 2025-02-12 12:58:05 首次发布

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给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins =[1, 2, 5], amount =11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入：coins =[2], amount =3
输出：-1

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

完全背包问题的定义

完全背包问题是一种特殊的背包问题，其特点是：

每种物品可以无限次使用（即每种硬币可以无限次使用）。
需要选择若干件物品（硬币），使得这些物品的总价值（总金额）达到某个目标值（目标金额），并且总价值尽可能接近目标值。

零钱兑换问题与完全背包问题的对应关系

在 LeetCode 322. 零钱兑换问题中：

物品：硬币，每种硬币可以无限次使用。
价值：硬币的面值。
目标值：目标金额 amount。
目标：找到最少的硬币数量，使得这些硬币的总金额等于目标金额。

这与完全背包问题的定义完全一致。

dp[j]=min(dp[j],dp[j−coins[i]]+1)

动规五部曲（dp含义、递推公式、初始化、遍历顺序、打印数组）

题目及思路：动态规划呢主要的就是把大问题拆解成小问题，小问题的值保存下来，从小问题的答案推导到最终答案，空间换时间。
那这题求的是可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。那我们可以把凑足总额为j所需钱币的最少个数都记录下来

所以我们dp含义为：dp[j]表示凑足金额j所需钱币的最少个数。

递推公式：对于每个金额 j，如果可以通过硬币 coins[i] 来凑出金额 j，那么状态转移方程应该是：

dp[j]=min(dp[j],dp[j−coins[i]]+1)
这里 dp[j - coins[i]] + 1 表示在金额 j - coins[i] 的基础上加上当前硬币 coins[i]，从而凑出金额 j。注意最终dp值保存的是所需硬币的最少个数，是个数。

初始化：我们知道凑足金额j为0所需要钱币的最少个数为0，所以dp[0]=0。然后其他下标值，考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。所以：

遍历顺序：完全背包问题

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
本题求钱币的最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，不影响钱币的最小个数。
这题并不强调是组合还是排列，所以都可以。我的代码以求组合数来求。

我们这里使用递推公式得出dp[j]有个if条件，if(dp[j-coins[i]] != INT_MAX)，

如果dp[j - coins[i]]不等于初始值INT_MAX的话，才进行更新。那为什么要有这个条件呢？比如，假设当前j是5，coins[i]是3，那么j - coins[i]是2。如果dp[2]还是INT_MAX的话，说明用这个硬币的话，无法得到金额2，那么这时候即使加上一个3元的硬币，也无法得到5元，所以这个时候就不能更新dp[5]，因为原来的dp[5]可能已经被其他硬币组合更新过，或者还没有被更新过，但此时这个路径是无效的。

举个例子，比如coins是[2]，amount是3。这时候，dp数组初始化为INT_MAX。然后遍历硬币2的时候，内层循环从2开始。当j=2时，dp[2 -2]=dp[0]=0，所以dp[2]=0+1=1。当j=3时，j-2=1，此时dp[1]还是INT_MAX，所以不会执行min操作。这时候，dp[3]仍然保持INT_MAX，最终返回-1。这样正确的结果就得到了。

打印数组：当遇到疑惑或者提交错误时，打印数组出来比较快速的看看哪一步有错。

以下是我在力扣c语言提交的代码，仅供参考：

#include <stdio.h>  
#include <limits.h>  
#include <string.h>  
int coinChange(int* coins, int coinsSize, int amount) {
   int dp[amount+1];

   //初始化
    for (int i = 0; i <= amount; i++) {
        dp[i] = INT_MAX;
    }
   dp[0] = 0;

   for(int i = 0;i<coinsSize;i++)
   {
    for(int j = coins[i];j<=amount;j++)
    {
        if(dp[j-coins[i]] != INT_MAX)
        {
            dp[j] = dp[j-coins[i]]+1 < dp[j] ? dp[j-coins[i]]+1 : dp[j];
        }
    }
   }

   if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
    return dp[amount];
}