[蓝桥杯 2013 省 A] 大臣的旅费

题目描述

很久以前，T 王国空前繁荣。为了更好地管理国家，王国修建了大量的快速路，用于连接首都和王国内的各大城市。

为节省经费，T 国的大臣们经过思考，制定了一套优秀的修建方案，使得任何一个大城市都能从首都直接或者通过其他大城市间接到达。同时，如果不重复经过大城市，从首都到达每个大城市的方案都是唯一的。

J 是 T 国重要大臣，他巡查于各大城市之间，体察民情。所以，从一个城市马不停蹄地到另一个城市成了 J 最常做的事情。他有一个钱袋，用于存放往来城市间的路费。

聪明的 J 发现，如果不在某个城市停下来修整，在连续行进过程中，他所花的路费与他已走过的距离有关，在走第 x−1 千米到第 x 千米这一千米中（xx 是整数），他花费的路费是 x+10 这么多。也就是说走 1千米花费 11，走 2 千米要花费 23。

J 大臣想知道：他从某一个城市出发，中间不休息，到达另一个城市，所有可能花费的路费中最多是多少呢？

输入格式

输入的第一行包含一个整数 n(n≤1e5)，表示包括首都在内的 T 王国的城市数。

城市从 1 开始依次编号，1 号城市为首都。

接下来 n−1 行，描述 T 国的高速路（T 国的高速路一定是 n−1 条）。

每行三个整数 Pi,Q,Di，表示城市 Pi 和城市 Qi​ 之间有一条高速路，长度为 Di(Di≤1000)米。

输出格式

输出一个整数，表示大臣J最多花费的路费是多少。

输入输出样例

输入 

5
1 2 2
1 3 1
2 4 5
2 5 4

输出 

135

思路： 

由题目“如果不重复经过大城市，从首都到达每个大城市的方案都是唯一的。”可知，所有的城市连起来就是一棵树，本题就是要求树的直径，即最大距离，然后根据距离和路费的关系得出答案。

求树的直径的步骤：

1. 任取一点 x ;

2. 找到距离 x 最远的点 y ;

3. 从 y 开始遍历，找到离 y 最远的点，与 y 最远的点的距离是树的直径。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl "\n"
using namespace std;
//ll w[100005][10005]; 邻接矩阵会爆 
struct edge
{
	ll city,w;
};
//邻接表 
vector<edge> h[100005];//定义的是一个含有 100005 个 std::vector<edge> 类型元素的数组
int dist[100005];//存放当前节点的最大距离
void dfs(int u,int father, int dis)
{
	dist[u]=dis;
	for(int i=0;i<h[u].size();i++) {
		if(h[u][i].city!=father) {
			dfs(h[u][i].city,u,dis+h[u][i].w);
		}
	}	
} 
int main()
{
	ll n,ans=0;
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n-1;i++)
	{
		int p,q,d;
		cin>>p>>q>>d;
		h[p].push_back({q,d});
		h[q].push_back({p,d});
	}
	dfs(1,-1,0);//任一点开始dfs
	int u=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(dist[i]>dist[u])
        {
            u=i;//找到与当前点距离最远的一个点（即树的直径的一个端点）
        }
	}
	dfs(u,-1,0);//再找到树的直径的端点能到达的所有点
	for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(dist[i]>dist[u])
        {
            u=i;//找到最远的那个点，就找到了当前树的直径的另一个端点
        }
    }
    int r=dist[u];//树的直径
    ans=r*10+r*(1+(r))/2;
    cout<<ans<<endl;
	return 0;	
}