32、动力学与振动相关知识解析

动力学与振动相关知识解析

1. 欧拉 - 伯努利梁的强迫振动

1.1 控制方程与边界条件

考虑一个等截面、无阻尼的欧拉 - 伯努利梁，其具有面积矩 (I)、长度 (L)、杨氏模量 (E) 和质量密度 (\rho)，受到随时间变化的单位长度外力 (F_0f(x,t)) 的作用。该系统的控制方程为：
[EI\frac{\partial^4 w}{\partial x^4}+\rho A\frac{\partial^2 w}{\partial t^2}=F_0f(x,t)]
其中，(w = w(x,t)) 是梁的横向位移，(x) 是空间变量，(t) 是时间。梁的两端受一组边界条件约束，例如在 (x = 0) 处：
[EI w’‘’(0,t)= -k_1w(0,t)]
[EI w’‘(0,t)= k_{t1}w’(0,t)]
在 (x = L) 处：
[EI w’‘’(L,t)= k_2w(L,t)]
[EI w’‘(L,t)= -k_{t2}w’(L,t)]

引入以下符号：
[G_0=\frac{F_0L^4}{EI}]
[K_j=\frac{k_jL^3}{EI}]
[B_j=\frac{k_{tj}L}{EI}]
[c_b^2=\frac{E}{\rho}]
[r^2=\frac{I}{A}]
[t_0=\frac{L^2}{c_br}]
[\tau=\frac{t}{t_0}]
[\eta=\frac{x}{L}]
[\Omega^4=\frac{\omega^2rAL^4}{EI}=\frac{\omega^2L^4