28、拉格朗日与哈密顿动力学及中心力相关知识解析

拉格朗日与哈密顿动力学及中心力相关知识解析

拉格朗日与哈密顿动力学基础

拉格朗日表述基于哈密顿原理，该原理指出粒子所遵循的路径会使作用积分 $S = \int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q}_i, t)dt$ 取驻值。能让作用积分取驻值的函数 $q_j(t)$ 可通过欧拉 - 拉格朗日方程来求解，其方程为：
$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$
此方程会产生 $s$ 个二阶常微分方程（ODEs），其中 $s$ 为系统的自由度数量，通过求解这些方程就能得到 $q_i(t)$。

若系统存在 $m$ 个完整约束，可将这些约束表示为 $m$ 个约束方程 $f_j$，此时欧拉 - 拉格朗日方程变为：
$\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q} i}) = - \sum {j = 1}^{m} \lambda_j(t) \frac{\partial f_j}{\partial q_i}$

除了使用拉格朗日量，哈密顿量也可用于推导系统的运动方程。哈密顿量的定义为：
$H = \sum_{i = 1}^{s} p_i \dot{q}_i - L$
哈密顿运动方程则为：
$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}$
$\dot{p}_i = - \frac{\partial H