14、瞬态动力学相关知识解析

瞬态动力学相关知识解析

1. 输入类型及传递函数

在系统研究中，不同类型的输入能帮助我们了解系统的特性。正弦输入是一种重要的输入方式，使用正弦输入可以确定系统的传递函数。传递函数能让我们预测线性动态系统对任何输入（包括脉冲函数输入）的输出。系统的传递函数是其脉冲响应的拉普拉斯变换。

随机噪声输入的方法则基于互相关的统计概念。

2. 卷积积分

2.1 卷积积分的定义与原理

如果已知线性动态系统对脉冲函数输入的响应（即脉冲响应），那么对于所有可能的输入，相关线性微分方程的解就已知了。任意接收输入 $b(t)$ 的线性动态系统的解由下式给出：
[x(t) = \int_{-\infty}^{t}b(t’)I(t,t’)dt’]
这个方程右边的积分称为卷积积分，计算这个积分的过程称为卷积。

我们可以用脉冲函数来深入理解这个式子。假设 $b(t)$ 是离散时间或数字化输入，可将其表示为一系列脉冲函数，每个脉冲函数对应一个输入时间 $t_i$，并根据当时输入的大小对脉冲响应进行缩放。则有：
[k^{-1}\frac{dx}{dt} + x(t) = B(t_0)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(s - t_0)ds + B(t_1)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(s - t_1)ds + \cdots + B(t_i)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(s - t_i)ds + \cdots]
其中 $B(t_i)$ 是第 $i$ 个输入的大小。在每个时间 $t_i$，动态系统对大小为 $B(t_i)$ 的脉冲函数脉冲做出响