【贪心+数学分析】51Nod1350[斐波那契表示]题解

最新推荐文章于 2022-03-08 11:37:48 发布

ZigZagK

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分类专栏： 51Nod题解一般贪心斐波那契数数学题

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本文探讨了一个关于斐波那契数列的数学问题，即如何求解一个整数可以用最少数量的斐波那契数表示，并进一步求解从1到n所有整数的这种表示方式的数量总和。通过一种贪心策略，文章给出了高效的求解方法。

题目概述

每个数都可以用若干个斐波那契数组成，记录 $F(x)=x$ 最少由多少个斐波那契数组成，求 $G(n)=\sum_{i=1}^{n}F(i)$ 。

解题报告

有个贪心： $F(x)=F(x-fib_{max})+1$ ，其中 $fib_{max}$ 是 $\le x$ 的最大斐波那契数（并不会严格证明QAQ）。

那么也就是说 $F(x)$ 被斐波那契数分成一块一块了，那么我们可以得到：

$G(0)=0$ 。
$G(n)=G(n-fib_{max})+\sum_{i=0}^{fib_{max}-1}F(i)+(n-fib_{max}+1)$

（提示：画图推一下就得到了， $\sum_{i=0}^{fib_{max}-1}F(i)$ 其实由两部分（ $[fib_{max},n]$ 和 $[n-fib_{max},fib_{max}]$ ）组合而成。）

问题是 $\sum_{i=0}^{fib_{max}-1}F(i)=G(fib_{max}-1)$ 怎么快速求出，我们按照上面的公式推一推：

G (f i b m a x - 1) = G (f i b m a x - f i b m a x - 1 - 1) + G (f i b m a x - 1 - 1) + (f i b m a x - f i b m a x - 1) = G (f i b m a x - 2 - 1) + G (f i b m a x - 1 - 1) + f i b m a x - 2

$G(fib_{max}-1)\\ =G(fib_{max}-fib_{max-1}-1)+G(fib_{max-1}-1)+(fib_{max}-fib_{max-1})\\ =G(fib_{max-2}-1)+G(fib_{max-1}-1)+fib_{max-2}$
所以这可以枚举斐波那契数很快预处理出来。

由于斐波那契数增长近似 $2^x$ ，所以效率近似 $log_2n$ 。

示例程序

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=100;

int te;LL Tot,fib[maxn+5],n,sum[maxn+5];

void Make()
{
    fib[0]=1;fib[1]=1;sum[0]=0;sum[1]=0;
    for (Tot=1;fib[Tot]+fib[Tot-1]<=1e17;Tot++) fib[Tot+1]=fib[Tot]+fib[Tot-1];
    for (int i=2;i<=Tot;i++) sum[i]=sum[i-1]+sum[i-2]+fib[i-2];
}
inline int Find(LL x)
{
    int L=1,R=Tot;
    while (L<=R)
    {
        int mid=L+(R-L>>1);
        if (fib[mid]<=x) L=mid+1; else R=mid-1;
    }
    return R;
}
LL Count(LL n)
{
    if (!n) return 0;int pos=Find(n);
    return Count(n-fib[pos])+sum[pos]+(n-fib[pos]+1);
}
int main()
{
    freopen("program.in","r",stdin);
    freopen("program.out","w",stdout);
    for (Make(),scanf("%d",&te);te;te--) scanf("%lld",&n),printf("%lld\n",Count(n));
    return 0;
}