Manacher

最新推荐文章于 2025-06-19 11:05:16 发布

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#字符串 #最长回文子串 #Manacher

算法&数据结构总结By_ZZK 同时被 2 个专栏收录

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本文详细介绍Manacher算法，一种用于寻找字符串中最长回文子串的高效算法。通过添加特殊字符确保字符串长度为奇数，利用回文特性进行优化，实现线性时间复杂度。文章还提供了完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

作用

线性时间解决最长回文子串问题。

思想

Manacher充分利用了回文的性质，从而达到线性时间。
首先先加一个小优化，就是在每两个字符（包括头尾）之间加没出现的字符（如%），这样所有字符串长度就都是奇数了，方便了很多。
abcde->%a%b%c%d%e%
记录p[i]表示i能向两边推（包括i）的最大距离，如果能求出p，则答案就是max(p)-1了（以i为中点的最长回文为2*p[i]-1，但这是加过字符后的答案，把加进去的字符干掉，最长回文就是p[i]-1）。

我们假设p[1~i-1]已经求好了，现在要求p[i]：
假设当前能达到的最右边为R，对应的中点为pos，j是i的对称点。
1.当i＜R时
这里写图片描述
由于L~R是回文，所以p[i]=p[j]（i的最长回文和j的最长回文相同）。

这种情况是另一种：j的最长回文跳出L了。那么i的最长回文就不一定是j的最长回文了，但蓝色的肯定还是满足的。

综上所述，p[i]=min(p[2*pos-i],R-i)。
2.当i>=R时
由于后面是未知的，于是只能暴力处理了。

效率

但是这样看起来很暴力，为什么复杂度是 $O(len)$ 的呢？因为R不会减小，每次暴力处理的时候，p[i]增大多少，就说明R增大多少，而R最多增加len次。所以复杂度是 $O(len)$ 的。

推论

（Manchery大神告诉我的，Orz）
2018.4.10UPD：原先“就出现了新的本质不同的回文子串”的说法是错误的，很抱歉误导了读者们QAQ。
一个串本质不同的回文子串个数最多为len个，证明方法和效率差不多：每次R增加的时候，就说明可能出现了新的本质不同的回文子串。

模板

同时水掉hihoCoder1032和HDU3068。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxl=1000000;

int te,p[2*maxl+5];
char s[maxl+5],now[2*maxl+5];

void readln() {scanf("%*[^\n]");getchar();}
bool Eoln(char ch) {return ch==10||ch==13||ch==EOF;}
int reads(char *x)
{
    int len=0;char ch=getchar();if (ch==EOF) return EOF;
    s[++len]=ch;while (!Eoln(s[len])) s[++len]=getchar();s[len--]=0;
    return len;
}
int Manacher(char *s)
{
    int len=strlen(s+1);
    for (int i=1;i<=len;i++) now[2*i-1]='%',now[2*i]=s[i];
    now[len=len*2+1]='%';
    int pos=0,R=0;
    for (int i=1;i<=len;i++)
    {
        if (i<R) p[i]=min(p[2*pos-i],R-i); else p[i]=1;
        while (1<=i-p[i]&&i+p[i]<=len&&now[i-p[i]]==now[i+p[i]]) p[i]++;
        if (i+p[i]>R) {pos=i;R=i+p[i];}
    }
    int MAX=0;
    for (int i=1;i<=len;i++) MAX=max(MAX,p[i]-1);
    return MAX;
}
int main()
{
    freopen("Manacher.in","r",stdin);
    freopen("Manacher.out","w",stdout);
    scanf("%d",&te);readln();
    while (te--) reads(s),printf("%d\n",Manacher(s));
    return 0;
}