线性代数（1）线性方程组的多种解法

求解线性方程组是线性代数的核心问题之一，根据方程组的类型（如齐次/非齐次、方阵/非方阵、稀疏/稠密等），可以采用不同的解法。以下是常见的线性方程组解法分类及简要说明：

一、直接解法（精确解）
适用于中小规模或特殊结构的方程组，理论上可在有限步内得到精确解。

高斯消元法（Gaussian Elimination）

通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形（REF）或简化行阶梯形（RREF），然后回代求解。

适用于任意线性方程组，但计算复杂度为 

LU分解（LU Decomposition）

将系数矩阵 A 分解为下三角矩阵LL 和上三角矩阵 U的乘积（A=LU），再分别求解 
Ly=b 和 
Ux=y。

适用于需要多次求解不同右端项 b 的情况。

Cholesky分解

针对对称正定矩阵，分解为 
A=L。

克拉默法则（Cramer's Rule）

通过行列式计算每个变量的解：

仅适用于小规模方程组（因行列式计算复杂度高）。

二、迭代解法（近似解）
适用于大规模稀疏方程组，通过迭代逼近解，适合数值计算。

雅可比迭代法（Jacobi Iteration）

高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel Iteration）

类似雅可比法，但使用最新计算的 值加速收敛：

逐次超松弛迭代法（SOR, Successive Over-Relaxation）

高斯-赛德尔的加速版本，引入松弛因子&