遗传算法求函数极大值

以下是遗传算法求解函数极大值问题的步骤和具体实现，以 f(x)=sin⁡(x)+cos⁡(2x)f(x) = \sin(x) + \cos(2x)f(x)=sin(x)+cos(2x) 为例，其中 x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi]x∈[0,2π]。

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遗传算法步骤

1. 问题描述
   寻找函数 f(x)=sin⁡(x)+cos⁡(2x)f(x) = \sin(x) + \cos(2x)f(x)=sin(x)+cos(2x) 的极大值。

2. 编码设计
   使用实数编码，直接表示解 xxx 的值。

3. 适应度函数
   适应度值为函数值，即：

   fitness(x)=f(x)=sin⁡(x)+cos⁡(2x)\text{fitness}(x) = f(x) = \sin(x) + \cos(2x)fitness(x)=f(x)=sin(x)+cos(2x)

4. 种群初始化
   随机生成种群，每个个体是范围 [0,2π][0, 2\pi][0,2π] 内的实数。

5. 选择
   使用轮盘赌选择或锦标赛选择。

6. 交叉
   使用实数编码的均匀交叉或中点交叉。

7. 变异
   随机改变 xxx 的值（在解的允许范围内）。

8. 终止条件
   达到最大迭代次数，或者适应度值收敛。

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C++实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <random>
#include <ctime>

// 参数定义
const int POP_SIZE = 20;  // 种群大小
const int MAX_GEN = 100;  // 最大迭代次数
const double CROSS_RATE = 0.7;  // 交叉概率
const double MUT_RATE = 0.1;    // 变异概率
const double PI = 3.141592653589793;

// 目标函数
double objectiveFunction(double x) {
    return std::sin(x) + std::cos(2 * x);
}

// 初始化种群
std::vector<double> initializePopulation(int popSize, double lowerBound, double upperBound) {
    std::vector<double> population(popSize);
    std::random_device rd;
    std::mt19937 gen(rd());
    std::uniform_real_distribution<> dis(lowerBound, upperBound);

    for (int i = 0; i < popSize; ++i) {
        population[i] = dis(gen);
    }
    return population;
}

// 适应度函数
std::vector<double> calculateFitness(const std::vector<double>& population) {
    std::vector<double> fitness(population.size());
    for (size_t i = 0; i < population.size(); ++i) {
        fitness[i] = objectiveFunction(population[i]);
    }
    return fitness;
}

// 轮盘赌选择
int rouletteWheelSelection(const std::vector<double>& fitness) {
    double totalFitness = std::accumulate(fitness.begin(), fitness.end(), 0.0);
    std::random_device rd;
    std::mt19937 gen(rd());
    std::uniform_real_distribution<> dis(0, totalFitness);

    double pick = dis(gen);
    double currentSum = 0.0;

    for (size_t i = 0; i < fitness.size(); ++i) {
        currentSum += fitness[i];
        if (currentSum >= pick) {
            return i;
        }
    }
    return fitness.size() - 1;
}

// 交叉操作
void crossover(double& parent1, double& parent2) {
    std::random_device rd;
    std::mt19937 gen(rd());
    std::uniform_real_distribution<> dis(0, 1);

    if (dis(gen) < CROSS_RATE) {
        double midPoint = (parent1 + parent2) / 2;
        parent1 = midPoint;
        parent2 = midPoint;
    }
}

// 变异操作
void mutate(double& individual, double lowerBound, double upperBound) {
    std::random_device rd;
    std::mt19937 gen(rd());
    std::uniform_real_distribution<> dis(0, 1);
    std::uniform_real_distribution<> mutationAmount(lowerBound, upperBound);

    if (dis(gen) < MUT_RATE) {
        individual += mutationAmount(gen) * 0.1; // 变异幅度为上下界的 10%
        if (individual > upperBound) individual = upperBound;
        if (individual < lowerBound) individual = lowerBound;
    }
}

// 遗传算法主程序
void geneticAlgorithm() {
    double lowerBound = 0.0;
    double upperBound = 2 * PI;

    // 初始化种群
    std::vector<double> population = initializePopulation(POP_SIZE, lowerBound, upperBound);

    for (int generation = 0; generation < MAX_GEN; ++generation) {
        // 计算适应度
        std::vector<double> fitness = calculateFitness(population);

        // 输出当前最优解
        auto maxIter = std::max_element(fitness.begin(), fitness.end());
        double bestFitness = *maxIter;
        double bestIndividual = population[std::distance(fitness.begin(), maxIter)];
        std::cout << "Generation " << generation << ": Best Fitness = " << bestFitness
                  << ", Best Individual = " << bestIndividual << std::endl;

        // 创建下一代种群
        std::vector<double> newPopulation;
        while (newPopulation.size() < POP_SIZE) {
            // 选择
            int parent1Idx = rouletteWheelSelection(fitness);
            int parent2Idx = rouletteWheelSelection(fitness);

            double parent1 = population[parent1Idx];
            double parent2 = population[parent2Idx];

            // 交叉
            crossover(parent1, parent2);

            // 变异
            mutate(parent1, lowerBound, upperBound);
            mutate(parent2, lowerBound, upperBound);

            // 添加到新种群
            newPopulation.push_back(parent1);
            if (newPopulation.size() < POP_SIZE) {
                newPopulation.push_back(parent2);
            }
        }

        // 更新种群
        population = newPopulation;
    }
}

int main() {
    geneticAlgorithm();
    return 0;
}

程序运行说明

1. 目标函数： f(x)=sin⁡(x)+cos⁡(2x)。
2. 种群初始化： 解的范围为 [0,2π]。
3. 算法过程：
   • 每一代输出当前最优个体及其适应度。
   • 通过轮盘赌选择、交叉和变异逐步优化。
4. 终止条件： 达到最大代数。

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改进方向

1. 选择策略优化： 用锦标赛选择替代轮盘赌选择，增强种群多样性。
2. 多种群协同： 分多个子种群并定期交换个体。
3. 自适应变异： 动态调整变异率，平衡探索和利用。

此程序展示了如何通过遗传算法求解非线性函数的极大值问题，并可以扩展应用到其他优化问题中。