计算复杂度论文解读系列（1）《通用顺序搜索问题》---L. A. Levin

《通用顺序搜索问题》

L. A. Levin

摘要

        本文研究了几种著名的“顺序搜索类型”问题，并证明这些问题只能在解决任何同类型问题所需的时间内得到解决。

1 简介

       在阐明算法的概念之后，证明了许多经典问题的算法不可解性（例如，群元素恒等问题、流形的同胚问题、丢番图方程的可解性等）。这消除了寻找解决这些问题的实用方法的问题。然而，解决其他问题的算法的存在并没有消除它们的类似问题，因为这些算法规定的工作量非常大。这就是所谓的顺序搜索问题的情况：布尔函数的最小化、有限长度的证明搜索、确定图同构等。所有这些问题都通过枚举所有可能性的简单算法来解决。然而，这些算法需要指数级的工作时间，数学家们已经形成了这样的信念：更简单的算法是不可能的。已经获得了许多支持其有效性的严肃论据（参见[1, 2]），但没有人能够证明这一说法。（例如，尚未证明找到数学证明所需的时间比验证它们所需的时间更多。）但是，如果我们假设存在一些（甚至是人为构造的）顺序搜索类型的问题，而这些问题无法通过简单的算法（就计算量而言）解决，那么可以证明许多“经典”顺序搜索问题（包括最小化问题、证明搜索问题等）也具有此属性。这构成了本文的主要结果。

2 定义和问题

如果对于某个 k：