扩展Lucas总结

最新推荐文章于 2023-02-24 19:29:46 发布

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本文探讨了在计算机科学中，如何利用预处理、帕斯卡恒等式、Lucas定理和扩展Lucas定理来高效地计算组合数。特别是当涉及到模运算时，扩展欧几里得算法用于求解逆元，进而解决大整数模运算下的组合数问题。代码示例展示了如何实现这些方法，并在最后通过扩展Lucas定理计算特定条件下的组合数。

类比：

类比一下所有可以用来求组合数的方法：

预处理：可以有效处理O(1e6) 数据，弊端是不能存在模数不为质数和 $C(n,m)$ 中 $n>p$ 的情况，p为模数
帕斯卡恒等式：可以处理O(1e3)的数据，依靠dp，没有模数限制
Lucas定理：可以求n，m较大而p较小的情况，递归在O( $log_{p}{n}$ ) $\times$ O(?)来求，弊端是模数一定是质数
扩展Lucas：跟lucas无关，是中国剩余定理+预处理阶乘，注意，在题中保证p不是质数而且还很大的情况下，能保证p的质因数幂在1e5~6范围内，考虑使用扩展Lucas

补充一个：BSGS是求： $a^{x}\equiv b\, mod(p)$ 最小正整数x，前提是 $gcd(a,p)=1$

而扩展BSGS就不用

正题：

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