数论版块——扩展 BSGS 与扩展 Lucas 定理 模板总结

BSGS & exBSGS

Description

给定 $a,b,p$，你需要找到最小的满足 $a^x\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 的 $x$。

$T$ 组数据，$\sum \sqrt{p}\le 5\times 10^6$。

算法一(BSGS: 保证 $\gcd (a,p)=1$)

令 $B=\lceil \sqrt{p}\rceil$，$t=a^B$。

我们先将 $a^0,a^1,\cdots ,a^B$ 分别压入哈希表中，接着枚举 $i=0,1,\cdots$，同时算出 $\frac{b}{t^i}$ 在模意义下的值。如果该值在哈希表中出现过，则我们就得到了答案。

时间复杂度 $O(\sqrt{B})$。逆元可以用扩展欧几里得算法求解（在 $p$ 为质数的时候也可以用费马小定理），哈希表可以使用 unordered_map 来实现。

算法二(exBSGS)

若不保证 $\gcd (a,p)=1$，那么就无法算出 $\frac{b}{t^i}$ 在模意义下的值了，因为