【算法】扩展卢卡斯详解

前置芝士

扩展卢卡斯相对较为复杂，需要较多的前置芝士。

1. 快速幂
2. 质因数分解
3. 组合数公式
4. 扩展欧几里得(exgcd)求逆元
5. 中国剩余定理（或excrt）
6. 熟练阅读Latex

至于卢卡斯定理，那真的不重要。

问题形式

卢卡斯($Lucas$)和扩展卢卡斯($exLucas$)都用于求解形如$C_n^m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$的答案。当$p$是质数时，直接用卢卡斯定理就可以*过去。

如果$p$不是质数，就得用今天的主角——扩展卢卡斯定理求解。

求解思想

由于$p$不是质数，那么我们考虑强行对其进行质因数分解：
$$p=\prod _{i=1}^n{p}_i^{a_i}$$
那么分解完后每一项$p_i^{a_i}$之间两两互质，只要我们能得出每组$C_n^m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}_i^{a_i}$的答案，就可以用中国剩余定理合并得到最后的答案。

然后来考虑求解$C_n^m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}_i^{a_i}$，我们知道$C_n^m=\frac{n!}{m!\times (n-m)!}$，那么我们也就是要求下面这个式子：
$$\frac{n!}{m!\times (n-m)!}$$