点分治解析

• 前言

最近碰见了淀粉质。想系统学学，虽然也学不懂。 

• 算法概述 

首先明确用途：在大规模处理树上路径的问题时，可以考虑淀粉质 

淀粉质（点分治 的主要思想继承了分治的思想，相当于每一次拆开了一棵树（子树），然后不断重复操作，因此，点分治优化的思路就来自于选取的树根的最大深度最小

•  引理 树的重心

关于树的重心，贴个oiwiki 

 这里我们应用的性质即为性质第一条

首先考虑为什么需要树的重心，我们每次分裂出子树，假设子树退化成链，结合线段树的思想，我们知道应该选取尽量到各个子区间距离接近的点，从而使复杂度降低

因此，树上问题就要选取树的重心，因为其子树内最大深度最小，使得删去重心后，生成的多棵树尽可能平衡

而重心的能力就是将复杂度降为log级别

感性理解一下，由于整棵(子)树的大小为，我们可以保证，子树大小最大为

求（子）树重心的代码如下：

void dfs(int u,int fa)
{
	size[u]=1; mx[u]=0;
	for(int i=head[u];i;i=g[i].next)
	{
		int v=g[i].to;
		if(v==fa||vis[v]) continue;
		dfs(v,u);
		size[u]+=size[v];
		mx[u]=max(mx[u],size[v]);
	}
	mx[u]=max(mx[u],sum-size[u]);
	if(mx[u]<mx[root]) root=u;
	return ;
}

在每次调用时，需注意数据初始化

sum=n; mx[root=0]=n;

sum的大小随当前子树大小变化 

upd：大众写法应该是有点问题

• 正片 点分治过程 

P3806 【模板】点分治1https://www.luogu.com.cn/problem/P3806https://www.luogu.com.cn/problem/P3806

先看一道题，这里需要求出给定k长路径是否存在

因此我们制定一下流程：

1. 计算以当前点为根的树上贡献，计算后进行初始化 
2. 遍历当前根的各个以子节点为根的子树
3. 求出各个子树的重心，进行递归

很显然，我们可以看到， 每一级都拥有log级别的节点数，可保持不退化

int dis[maxn],tot(0);
bool is[maxn];
int vec[maxq];
void dist(int u,int fa)
{
	vec[++tot]=dis[u];
	for(int i=head[u];i;i=g[i].next)
	{
		int v=g[i].to;
		if(vis[v]||fa==v) continue;
		dis[v]=dis[u]+g[i].c;
		dist(v,u); 
	}
	return ;
}

 这段代码是计算从当前节点为根的向下距离，统计答案时，我们默认u为符合条件条路径的lca

bool pd[maxq];
int tmp[maxq];
void calc(int u)
{
	tmp[0]=0;
	for(int i=head[u];i;i=g[i].next)
	{
		int v=g[i].to;
		if(vis[v]) continue;
		tot=0; dis[v]=g[i].c;
		dist(v,u); //以u为lca先求出v中路径长度的桶
		for(int j=1;j<=tot;j++)
			for(int l=1;l<=m;l++)
				if(ask[l]>=vec[j])
				is[l]|=pd[ask[l]-vec[j]]; //若存在另一半（包括零）记入答案
		for(int j=1;j<=tot;j++)
			tmp[++tmp[0]]=vec[j],pd[vec[j]]=1;
        //更新桶，并记录，方便清零
	}
	for(int i=1;i<=tmp[0];i++) pd[tmp[i]]=0;
    //清零，确保每次桶里都是当前子树的链长
	return ;
}

 综上，整个代码的流程已经很明确了，完整如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdlib>
#i