c++ 卡特兰数

该博客讨论了如何利用C++解决与卡特兰数相关的计算机科学问题。通过递归公式,解释了如何计算一个操作数序列经过栈操作可能产生的输出序列总数,并提供了输入输出样例。

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设出栈的所有可能性为 f(n)   

我们假定最后出栈的元素是k,那么在k之前的元素都已出栈,那么前面就有f(k-1)种,如果在k之后的元素就有f(n-k)种。那么就有总共就有f(k-1)*f(n-k)种。

Catalan递归式!!!!

令 f(0)=1,f(1)=1

f(n) = f(0)f(n-1) + f(1)f(n-2) + …… + f(n-1)f(0)

下面给出一道经典卡特兰问题 :

栈是计算机中经典的数据结构,简单的说,栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作,即 pop(从栈顶弹出一个元素)和 push(将一个元素进栈)。

栈的重要性不言自明,任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时,想到了一个书上没有讲过的问题,而他自己无法给出答案,所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题:一个操作数序列,1,2,\ldots ,n1,2,…,n(图示为 1 到 3 的情况),栈 A 的深度大于 nn。

现在可以进行两种操作,

  1. 将一个数,从操作数序列的头端移到栈的头端(对应数据结构栈的 push 操作)
  2. 将一个数,从栈的头端移到输出序列的尾端(对应数据结构栈的 pop 操作)

使用这两种操作,由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列,下图所示为由 1 2 3 生成序列 2 3 1 的过程。

(原始状态如上图所示)

你的程序将对给定的 nn,计算并输出由操作数序列 1,2,\ldots,n1,2,…,n 经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入格式

输入文件只含一个整数 nn(1 \leq n \leq 181≤n≤18)。

输出格式

输出文件只有一行,即可能输出序列的总数目。

输入输出样例

输入 #1

3

输出 #1

5
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
	long long f[10000];
	int n;
	cin>>n;
	f[0]=1;
	f[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=i;j++)
		{
			f[i]+=f[j-1]*f[i-j];
		}
	} 
	cout<<f[n]<<endl;
} 

GYX

<think>好的,用户想了解如何用C++实现卡特兰的计算。首先,我需要回忆一下卡特兰的定义和常见计算方法。卡特兰在组合学中经常出现,比如BST的构造量、括号匹配等问题。卡特兰的第n项可以用递推公式或者闭式公式来计算。 首先,递推公式可能更容易实现,特别是对于编程来说。递推公式是C(n+1) = sum_{i=0}^n C(i)*C(n-i),其中C(0)=1。不过,这样的递归实现会有重复计算,效率不高,特别是当n较大时。所以可能需要用动态规划来优化,存储中间结果。 另外,闭式公式是C(n) = (1/(n+1)) * C(2n, n),即组合除以n+1。这个公式计算起来可能更快,但计算组合时需要注意值溢出问题,尤其是当n很大时,比如超过20,用普通的整类型可能会溢出。这时候需要考虑使用大整库或者动态规划方法来逐步计算。 用户可能希望看到不同的实现方法,比如递归、动态规划和闭式公式的实现。但需要注意递归的效率问题,所以可能更推荐动态规划或闭式方法。同时,用户可能对卡特兰的应用场景感兴趣,比如在计算二叉搜索树的量时使用卡特兰,所以可以举相关的例子。 另外,用户提供的引用中有提到引用[1]是关于查找具有n个节点的BST量的卡特兰,这可以作为应用场景的例子。所以实现部分可以结合这个应用,比如计算不同n对应的卡特兰,并说明这与BST量的关系。 代码部分需要正确,用C++编写。动态规划的实现需要创建一个组来存储中间结果,然后通过迭代计算每个卡特兰。闭式公式的实现则需要计算组合,可以用循环计算乘积,然后除以n+1。需要注意的是,当n较大时,结果可能会超过普通据类型的范围,所以可能需要使用long long或者更大的类型,或者处理大。 可能还需要比较不同方法的优缺点,比如递归适合小n,动态规划适合中等n,而闭式公式在n较大时可能更高效但受限于值范围。 最后,生成相关问题的时候,可以包括卡特兰的应用、优化方法、不同实现方式的比较,以及如何处理大问题等。</think>### C++实现卡特兰的三种方法 卡特兰Catalan Numbers)在组合学中应用广泛,以下是三种常见实现方式: **1. 递归实现(适合n≤15)** ```cpp #include <iostream> using namespace std; long long catalan(int n) { if (n <= 1) return 1; long long res = 0; for (int i=0; i<n; i++) res += catalan(i)*catalan(n-i-1); return res; } ``` *时间复杂度:$O(3^n)$,存在重复计算[^1]* **2. 动态规划(适合n≤35)** ```cpp long long catalanDP(int n) { long long dp[n+1] = {0}; dp[0] = dp[1] = 1; for (int i=2; i<=n; i++) for (int j=0; j<i; j++) dp[i] += dp[j] * dp[i-j-1]; return dp[n]; } ``` *时间复杂度:$O(n^2)$,空间复杂度:$O(n)$* **3. 组合公式(适合n≤20)** $$ C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} $$ ```cpp long long binomialCoeff(int n, int k) { long long res = 1; if (k > n - k) k = n - k; for (int i=0; i<k; i++) { res *= (n - i); res /= (i + 1); } return res; } long long catalanBinomial(int n) { return binomialCoeff(2*n, n)/(n+1); } ``` *时间复杂度:$O(n)$,但值范围受限制* **应用示例**:计算n个节点能组成的BST量[^1] ```cpp cout << "Nodes:3 => BSTs:" << catalanDP(3); // 输出5 ``` **值范围注意事项**: - 当n=20时,C20=6,564,120,420 - long long类型最大支持到C33≈3.5e+18 - 更大值需使用大整
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